110

Лабораторная работа № 16

Определение средней длины свободного

Пробега и эффективного диаметра

Молекул воздуха

Цель работы – расчет средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекулы воздуха по экспериментально определяемой величине коэффициента внутреннего трения (вязкости).

Для нахождения коэффициента внутреннего трения воздуха в данной работе используется метод капилляра, разработанный Пуазейлем. Вследствие большой сжимаемости газов метод Пуазейля применяется только для небольших разностей давления газа на концах капилляра. Практически это выполняется в приборе-аспираторе, с помощью которого измеряется вязкость воздуха в данной работе.

1. Описание установки и метода измерений

Прибор–аспиратор показан на рис. 1.

Рис. 1

Главная часть прибора–капилляр АВ, через который протекает воздух из атмосферы в колбу С. Воздух засасывается в колбу вследствие того, что в ней создается разрежение воздуха при понижении уровня воды, протекающей в сосуд Д. Для этого сосуд Д опускают ниже колбы С. По мере уменьшения количества воды в колбе С в нее поступает воздух через капилляр АВ. Объем этого воздуха определяется по понижению уровня воды в уровнемере колбы С. Разность давлений на основаниях капилляра измеряется водяным манометром. Переместив сосуд Д в положение Е выше колбы С, вновь заполняют его водой, протекающей из сосуда Д. При этом воздух вытесняется из колбы С через капилляр АВ в атмосферу. Разность давлений на концах капилляра АВ за время опыта изменяется очень медленно. Поэтому процесс можно считать в каждый момент времени стационарным, а течение воздуха в капилляре – ламинарным.

Внутреннее трение, возникающее между слоями газа при ламинарном характере его течения через капилляр АВ, имеет молекулярную природу. Взаимное торможение соприкасающихся слоев газа в капилляре возникает благодаря тому, что молекулы в соседних слоях имеют разную скорость. В более отдаленном слое от оси капилляра молекулы приобретают под действием разности давлений (р₁-р₂) меньшую скорость направленного движения, чем молекулы в соседнем слое, более близком к оси капилляра. Распределение скорости различных слоев по сечению трубки

, (1)

где (р₁–р₂) – разность давлений на основаниях трубки, под влиянием которой в капилляре течет газ; R₀ – радиус капилляра;  – длина капилляра;  – коэффициент внутреннего трения (вязкость) данной жидкости (газа).

Из формулы (1) следует, что с увеличением расстояния r от оси трубки скорость убывает пропорционально квадрату радиуса и обращается в нуль на стенках капилляра, т.е. граничный слой жидкости как бы прилипает к стенкам.

Пользуясь формулой (1), можно подсчитать объем газа V, прошедшего через капилляр за время . Из цилиндрического слоя радиусом r и толщиной dr за время  вытечет объем: dV = v  2  r dr, где v – скорость газа в данном слое; 2rdr – площадь основания цилиндрического слоя (см. рис. 2). Подставляя значение скорости из формулы (1) и интегрируя в пределах

от 0 до R₀, определяем объем газа, который проходит за время  через

поперечное сечение капилляра,

,

тогда коэффициент внутреннего трения

. (2)

Формула (2) справедлива, если разность давлений на концах капилляра не изменяется за время . В данной работе особенности установки таковы, что давление в колбе уменьшается по мере вытекания воды. Экспериментально можно показать, что зависимость разности давлений от времени линейная, поэтому в данную формулу можно подставить среднее значение разности давлений (за время ).

Рис. 2

Разность давлений (р₁–р₂) определяется по формуле

(р₁ – р₂) = _ж g (h₁ – h₂), (3)

где (h₁–h₂) – разность уровней жидкостного манометра; _ж – плотность манометрической жидкости; g – ускорение силы тяжести.

Объем воздуха, протекающего через капилляр за время , определяется объемом воды, вытесненной из измерительной колбы С.

Если температура воздуха в комнате Т₁ и температура воды Т₂ в колбе С равны, то

V = V_воды = SH, (4)

где S – площадь основания колбы С; Н – расстояние между верхней и нижней метками на шкале уровнемера колбы С.

Экспериментальное значение коэффициента вязкости , полученное по формуле Пуазейля (2), позволяет рассчитать одну из важных характеристик газа – среднюю длину свободного пробега молекул газа.

Из молекулярно–кинетической теории идеального газа известно, что вязкость  связана со средней длиной свободного пробега молекулы , следующей формулой

, (5)

где – средняя скорость молекулы газа;

– плотность газа.

Следовательно,

, (6)

где p – давление воздуха, которое из-за малости разности давлений на концах капилляра можно считать численно равным атмосферному, т.е. p_атм=p₁; R – универсальная газовая постоянная (R = 8,31 Дж/(моль К)); Т – температура воздуха; М – молярная масса воздуха (М_эфф = 2910^–3 кг/моль). Из молекулярно–кинетической теории следует так же, что

,

тогда эффективный диаметр молекулы

, (7)

где – постоянная Больцмана, – число Авогадро, где n₀ – концентрация молекул.