36. Простая регрессионная модель. Метод наименьших квадратов

Простая линейная регрессия:

Y_i = β₀ + β₁X_i + ε_i

где β₀ — сдвиг (длина отрезка, отсекаемого на координатной оси прямой Y), β₁ — наклон прямой Y, ε_i— случайная ошибка переменной Y в i-м наблюдении.

В этой модели наклон β₁ представляет собой количество единиц измерения переменной Y, приходящихся на одну единицу измерения переменной X. Эта величина характеризует среднюю величину изменения переменной Y (положительного или отрицательного) на заданном отрезке оси X. Сдвиг β₀ представляет собой среднее значение переменной Y, когда переменная X равна 0. Выбор подходящей математической модели зависит от распределения значений переменных X и Y на диаграмме разброса.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса.

37. Дисперсионный анализ. Использование дисперсионного анализа в регрессионном анализе

Дисперсионный анализ – анализ изменчивости результативного признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов. Результативный признак называют также зависимым признаком, а влияющие факторы – независимыми признаками.

Ограничение метода: независимые признаки могут измеряться по номинальной, порядковой или метрической шкале, зависимые – только по метрической. Для проведения дисперсионного анализа выделяют несколько градаций факторных признаков, а все элементы выборки группируют в соответствии с этими градациями.

Формулировка гипотез в дисперсионном анализе.

• Нулевая гипотеза: «Средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора одинаковы».

• Альтернативная гипотеза: «Средние величины результативного признака в разных условиях действия фактора различны».

Обобщенно задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака выделить три частные вариативности:

1. вариативность, обусловленную действием каждой из исследуемых независимых переменных (факторов).

2. вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независимых переменных.

3. вариативность случайную, обусловленную всеми неучтенными обстоятельствами.

Для оценки вариативности, обусловленной действием исследуемых переменных и их взаимодействием вычисляется отношение соответствующего показателя вариативности и случайной вариативности. Показателем этого соотношения является F – критерий Фишера.

Чем в большей степени вариативность признака обусловлена действием влияющих факторов или их взаимодействием, тем выше эмпирические значения критерия.

Непараметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа для независимых выборок является критерий Крускала-Уоллеса. Он подобен критерию Манна-Уитни для двух независимых выборок, за тем исключением, что он суммирует ранги для каждой из групп.

Кроме этого, в дисперсионном анализе может быть применен медианный критерий. При его использовании для каждой группы определяются число наблюдений, которые превышают медиану, вычисленную по всем группам, и число наблюдений, которые меньше медианы, после чего строится двумерная таблица сопряженности.