31. Нормальное распределение, зависимость и независимость выборок

Нормальное распределение:

• Имеет симметричную.

• Его математическое ожидание, медиана и мода совпадают друг с другом.

• Половина нормально распределенных значений лежит в интервале, длина которого равна 4/3 стандартного отклонения. Это значит, что межквартильный размах находится в интервале от 2/3 стандартного отклонения левее среднего значения до 2/3 стандартного отклонения правее среднего значения.

• Значения нормально распределенной случайной величины лежат на всей числовой оси (–∞ < Х < +∞).

На практике многие случайные величины являются лишь приближенно нормальными.

Две выборки зависят друг от друга, если каждому значению одной выборки можно закономерным и однозначным способом поставить в соответствие ровно одно значение другой выборки. Аналогично определяется зависимость нескольких выборок.

Чаще всего зависимые выборки возникают, когда измерение проводится для нескольких моментов времени. Зависимые выборки образуют значения параметров изучаемого процесса, соответствующие различным моментам времени.

В SPSS зависимые (также связанные, спаренные) выборки будут представляться разными переменными, которые сопоставляются друг с другом в соответствующем тесте на одной и той же совокупности наблюдений.

Если закономерное и однозначное соответствие между выборками невозможно, эти выборки являются независимыми. В SPSS независимые выборки содержат разные наблюдения (например, относящиеся к различным респондентам), которые обычно различаются с помощью групповой переменной, относящейся к номинальной шкале.

32. Нулевая и альтернативная гипотезы. Двусторонние и односторонние гипотезы

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Но. Это гипотеза об отсутствии различий, называется нулевой потому, что содержит число 0: X1- Х2=0, где X1, X2 - сопоставляемые значения признаков.

Альтернативная гипотеза - это гипотеза о значимости различий. Она обозначается как H1. Альтернативная гипотеза - это то, что мы хотим доказать, поэтому иногда ее называют экспериментальной гипотезой.

Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

Направленные гипотезы:

• H0: X1 не превышает Х2

• H1: X1 превышает Х2,

Ненаправленные гипотезы:

• H0: X1 не отличается от Х2

• Н1: Х1 отличается от Х2

Ошибка, состоящая в том, что мы отклонили нулевую гипотезу, в то время как она верна, называется ошибкой I рода

Ошибка, состоящая в том, что мы приняли альтернативную гипотезу, в то время как она неверна, называется ошибкой II рода. Мощность критерия - это его способность не допустить ошибку II рода.

33. Нормальное распределение и распределения Стьюдента. Т-тест и доверительные интервалы

Норма́льное распределе́ние,  также называемое распределением Гаусса или Гаусса — Лапласа  — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения. Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение». Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1. Важное значение нормального распределения во многих областях науки (например, в математической статистике и статистической физике) вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования. T – распределение Стьюдента представляет частный случай нормального распределения, оно симметрично и отражает специфику распределения малой выборки по нормальному закону в зависимости от её объёма n. Для выборок n >=30 величина t распределяется нормально, тогда как при n < 30 распределение t зависит от числа наблюдений n, т.е. следует закону Стьюдента. Для практического использования t – распределения составлена специальная таблица: «Критические значения t – критерия Стьюдента для трёх уровней значимости (0,05; 0,01; 0,001) и чисел степеней свободы». В данной таблице содержатся критические значения t для разных уровней значимости (Р₀) и чисел степеней свободы (n-1). Как пользоваться этой таблицей при использования t- критерия при проверке статистических гипотез, будет показано при рассматривании приведённых ниже примеров. Формулы: норм. распред.. --

Распред. Стьюдента -- , .