1. Сила тяжести и потенциал.

1. Сила тяжести P – векторная сумма двух сил: силы притяжения F, описываемой законом Ньютона, и центробежной силы C.

2. Закон всемирного тяготения Ньютона для точечных масс m₁ и m₂ имеет вид:

,где r – расстояние между массами, G – гравитационная постоянная. Значение G экспериментально определено:

G = (6.6730.003)·10^-11 м³/(кг·с²) , (СИ) G = (6.6730.003)·10^-8 см³/(г·с²) , (СГС).

3. Пусть в точку M помещена точечная масса m₁ = m, а в точку M₀ – масса m₂, равная 1. Положение точки M₀ относительно точки M характеризуется радиус-вектором , направленным из точки M в точку M₀. Для этого случая закон всемирного тяготения приобретет вид:

.Знак минус показывает, что сила притяжения имеет направление, противоположенное направлению радиус-вектора. Сила, действующая на единичную массу, носит название удельной силы. При такой записи, эта сила будет иметь размерность ускорения и описывать напряженность поля ньютоновского притяжения (гравитационного поля), создаваемого точечным источником массой m. Обычно, слово «удельная» опускается и говорят просто о силе тяжести.

4. В гравиразведке принято силу притяжения выражать в [см/с²]. В честь Галилео Галилея 1см/с² = 1Гал. На практике используются более мелкие единицы – миллигалы и микрогалы: 1мГал = 10^-3Гал, 1мкГал =10^-6Гал.

5. Введем декартову систему координат. Пусть в точке M с координатами (, , ) расположена масса m. Тогда сила притяжения, создаваемая этой массой в точке M₀ с координатами (x, y, z) , будет равна: .Положение точки M можно описать с помощью радиус-вектора , а точки M₀ – радиус-вектором . Тогда, , и

,

.Компоненты силы притяжения: ,где .

6. Компоненты силы притяжения являются частными производными от функции

: .

Функция V носит название потенциала силы притяжения.

) работа, совершаемая при перемещении из одной точки в другую, зависит только от их расположения и не зависит от формы пути; 2) расстояние между двумя уровненными поверхностями зависит от силы F – чем эта величина больше, тем ближе друг к другу расположены эти поверхности. Это также означает, что на эквипотенциальной поверхности сила притяжения может меняться.

12. В гравиразведке принято первые производные потенциала V обозначать в виде V_x, V_y, V_z. Соответственно вторые частные производные потенциала обозначаются как V_xx, V_xy, V_xz и т.д. Вторые частные производные можно записать в виде матрицы

.

Эта матрица носит название тензора (тензора 2-й валентности). Элементы этой матрицы характеризуют характер изменения поля силы притяжения в окрестности точки M₀(x,y,z), т.е. характер изменения компонент вектора .

2) Притяжение однородного слоя и сферы, их потенциал и его производные.

Потенциал притяжения точечной массы описывается выражением ,

где r – расстояние от точки M, где расположена эта масса до точки наблюдения M₀.

2. Пусть задан некоторый объем V, в котором распределены массы. Выделим в этом объеме некоторый элементарный объем dv вокруг точки M. Массу этого объема обозначим dm. Тогда отношение массы dm к объему dv даст значение плотности в этой точке: .Потенциал притяжения, создаваемый этим объемом, – . В частном случае, когда плотность постоянна,

.Таким образом, для того чтобы определить потенциал, а тем самым и поле силы притяжения, создаваемый объемом с распределенной в ней плотностью, необходимо вычислить объемный интеграл.

3. Рассмотрим в качестве примера потенциал и его элементы (силу притяжения и его производные), создаваемые сферой и шаром с однородной плотностью . Для этого рассмотрим вначале потенциал притяжения и его компоненты, создаваемые сферическим слоем.

4. Одна из моделей, часто используемая в гравиразведке, – модель тонкого слоя. Если толщина слоя незначительна, то можно ввести понятие поверхностной плотности, и считать, что задана некоторая поверхность с распределенной на ней поверхностной плотностью. Для этого вырежем в этом слое цилиндр, центр основания которого располагается в точке M, его площадь ­­– dS, а высота равна толщине слоя dh. Поверхностная плотность в точке M равна _п = dh, и потенциал будет определяться через поверхностный интеграл:

.5. Сфера, образованная слоем с постоянной поверхностной плотностью _п. Для вывода выражения потенциала воспользуемся сферической системой координат. В этой системе координат координаты точки определяются параметрами (R, , ), где R – расстояние от начала координат до точки M, в которой расположена притягивающая масса,  – угол между осью Oz и радиусом R (коширота),  –долгота (угол меду осью Ox и проекцией радиуса R на плоскость xOy). Элемент площади, массы и расстояние между точкой интегрирования M и точки M₀:

, , ,

где  – расстояние от начала координат до точки M₀.

6. Потенциал сферы для точки M₀, расположенной вне ее, будет представлен в виде: .

Сила притяжения, создаваемая сферой равна производной от потенциала по :

.Знак "минус" указывает на то, что сила притяжения и радиус-вектор имеют противоположенные направления.

Рассмотрим однородный сферический слой. Для вывода выражений для потенциала и его производных, надо перейти от поверхностной плотности к объемной и проинтегрировать эффект сферического слоя от R₁ до R₀, где R₁ и R₀ – радиусы внутренней и внешней сферы, ограничивающих этот слой.

12. Для внешней точки M₀:

.

В частном случае, при R₁ = 0, ,где - масса сферы, т.е. совпадает с потенциалом точечного источника.

13. Рассмотрим внутреннюю точку внутри этой сферы. Потенциал для этой точки: .Соответственно, сила притяжения внутри сферы будет равна нулю.14. Получим выражение для потенциала и его производных для внутренней точки в шаре с постоянной плотностью. Для этого разделим шар на две области: сферический слой, внешний по отношению к точке M₀, и внутреннюю сферу. Тогда потенциал внешнего сферического слоя: .

Потенциал внутренней сферы: ,при R₁ = 0. Суммарный потенциал:

.

Можно убедиться, что потенциал на границе сферы не терпит разрыва (при  = R₀).

15. Сила притяжения:

,т.е. сила притяжения меняется по линейному закону с увеличением расстояния от центра сферы. Вторая производная:

.Вторая производная – постоянная величина.