15. Уравнение конвективного переноса субстанций.

а) импульс: пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и изотропная (однородная), жидкость несжимаемая (ρ=const) и вязкая (μ≠0). В этом случае для оси z можно записать

– уравнение Навье Стокса (70)

(дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости для нестационарного потока).

проекция локальных скоростей на координатной оси.

Это уравнение имеет 2 физических смысла:

1. баланс сил, действующих на движущийся элементарный объём жидкости dV.

2. основное балансовое соотношение (обс) по импульсу.

Это уравнение можно записать компактно:

; (71)

оператор Лапласа (лапласиан), то есть сумма вторых производных от данной величины по координатным осям.

локальное накопление импульса (в данной точке жидкости) во времени за счёт изменения местной скорости в этой точке во времени.

локальное накопление импульса за счёт сил инерции.

локальное накопление импульса за счёт сил гравитации или источник, или сток импульса в пространственном контуре dV под действие внешней силы, то есть силы гравитации.

локальное накопление импульса под действие сил давления.

локальное накопление импульса за счёт сил внутреннего трения, то есть вязкости жидкости.

Из этого уравнения могут быть получены уравнения движения жидкости Эйлера и уравнение равновесной неподвижной жидкости Эйлера.

Из уравнения движения жидкости Эйлера можно получить уравнение Бернулли, а из уравнения равновесной неподвижной жидкости Эйлера – основное уравнение гидростатики.

б) уравнение конвективного переноса теплоты для нестационарного потока в движущейся среде: пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и однородная; С_р = const, ρ = const, λ = const. В этом случае обс запишется:

– уравнение Фурье-Кирхгофа (72)

(дифференциальное уравнение переноса теплоты для нестационарного потока).

t – температура жидкости.

проекция локальных скоростей на координатной оси.

коэффициент теплопроводности жидкости.

удельная массовая изобарная теплоёмкость жидкости.

локальное накопление теплоты во времени за счёт изменения температуры жидкости во времени в данной точке жидкости (для нестационарного потока).

локальное накопление теплоты за счёт конвекции.

локальное накопление теплоты за счёт индукции (теплопроводности).

локальное накопление/выделение теплоты за счёт источников или стоков.

источник/сток теплоты в единице объёма жидкости за 1с, .

В целом, уравнение Фурье-Кирхгофа характеризует локальное накопление теплоты в движущемся элементарном контуре жидкости dV.

в) рассмотрим обс для переноса массы (вещества) в движущейся жидкости для нестационарного потока. Пусть рабочая среда однофазная, неразрывная и изотропная (однородная), коэффициент молекулярной диффузии D = const.

В этом случае можно записать:

(73)

уравнение конвективного переноса массы (вещества) для нестационарного потока Фика.

С – концентрация вещества, [C] = .

время.

локальное накопление вещества во времени за счёт изменения его концентрации во времени в данной точке жидкости.

локальное накопление вещества во времени за счёт конвекции.

локальное накопление вещества за счёт молекулярной диффузии.

источник/сток вещества в элементарном контуре dV за счёт химического превращения.

Отсюда видна аналогия дифференциальных уравнений конвективного переноса субстанций. Эта аналогия особенно характерна для переноса теплоты и вещества, и в меньшей степени для импульса.