4. Соленоидальное поле. Дивергенция

Векторное поле в области называется соленоидальным, если для любого замкнутой поверхности поток через нее равен нулю. Из теоремы Гаусса – Остроградского вытекает следующее утверждение.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

1. Поле - соленоидальное в E;

2. в области E;

3. существует векторное поле .

Лекция 11 Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в r3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор

1. Формула Стокса

Пусть

- двусторонняя поверхность

.

Тогда множество - граница (или край) поверхности S.

Теорема (Формула Стокса). Если ориентации на и согласованы, то

Доказательство. Необходимо доказать равенство

или три равенства

Для простоты докажем первое равенство в предложении, что поверхность

.

Имеем

Что и требовать показать.

3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор

Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярное поле - потенциал такой, что

т.е. есть решение системы

Циркуляцией  векторного поля вдоль замкнутой кривой L называется криволинейный интеграл второго рода

     В случае, когда векторное поле является силовым полем, циркуляция даёт величину работы этого поля вдоль кривой L.         Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля   называется вектор

.

2. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в r3

Лемма. Работа векторного поля в области не зависит от пути, а зависит только от начала и конца пути любая циркуляция в E равна 0.

Доказательство. Точно такое же, как в плоском случае.

Теорема. Следующие условия эквивалентны:

1. поле потенциальное, в односвязной области E;

2. ротор в области E;

3. работа поля в E не зависит от пути.

Доказательство. Будем следовать схеме .

:

.

Имеем

Отсюда . Аналогично доказываются остальные равенства.

ЛЕКЦИЯ 12

Дифференциальные векторные операции 2-го порядка. Гармоническое поле, уравнение Лапласа, гармонические функции. Разложение произвольного векторного поля, уравнение Пуассона. Ортогональные криволинейные координаты. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах

1. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка

Рассмотрим скалярное поле и векторное поле .

Дифференциальными операциями первого порядка называются операции

где - оператор набла.

Дифференциальными операциями второго порядка называются попарные комбинации операций первого порядка. Рассмотрим эти операции

• . Имеем

Выражение называется оператором Лапласа.

• . Имеем

• . Имеем

• . Имеем

.

2. Гармоническое поле, уравнение Лапласа, гармонические функции

Векторное поле, которое одновременно является и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.

Пусть поле гармоническое

Итак, потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению - уравнению Лапласа

.

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.

3. Разложение произвольного векторного поля, уравнение Пуассона

Теорема. Для любого векторного поля справедливо разложение: , где - потенциальное поле, - соленоидальное поле.

Действительно, по определению потенциального поля есть градиент некоторого скалярного поля u: . Поэтому для вектора имеем

Чтобы векторное поле было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию , откуда . Таким образом, для скалярного потенциала поля получаем уравнение

,

называемое уравнением Пуассона: .