2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление

Пусть поверхность ,

- непрерывная функция.

Определение. Поверхностным интегралом первого рода по поверхности от функции называется число

.

Здесь - элемент площади поверхности.

Данное определение справедливо и для кусочно-гладкой поверхности, т.е. поверхности, которая может быть разбита на конечное число гладких участков.

Поверхностный интеграл первого рода сводится к некоторому двойному интегралу и для него справедливы все его свойства.

3. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода

Геометрическое приложение: Вычисление площади поверхности

Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести поверхности, начиненной веществом с плотностью .

Масса: .

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:

Координаты центра тяжести:

.

Вторые статические моменты относительно координатных плоскостей:

Статический момент (момент инерции) относительно начала координат:

.

ЛЕКЦИЯ 10

Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля.

Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода.

Теорема Гаусса-Остроградского. Соленоидальное поле. Дивергенция

1. Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля

Будем рассматривать гладкие двусторонние поверхности. Сторона выбирается с помощью нормали к поверхности.

Пусть некоторая двусторонняя поверхность, - векторное поле на поверхности . Нам необходимо определить поверхностный интеграл второго рода по какой-то стороне поверхности для векторного поля . Этот интеграл запишется следующим образом:

.

Определим интеграл . Остальные интегралы будут определяться аналогично.

Пусть . Стороны на этой поверхности можно выбирать следующим образом:

- это сторона поверхности, нормаль к которой образует с осью острый угол;

- это сторона поверхности, нормаль к которой образует с осью тупой угол.

В таком случае положим

.

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода – вычисление потока векторного поля через поверхность в направлении нормали .

2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода

Имеем

Отсюда

.

3. Теорема Гаусса-Остроградского

Пусть замкнутая поверхность с внешней нормалью к. - тело, ограниченное этой поверхностью, .

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема (теорема Гаусса - Остроградского). Справедливо равенство:

где

- дивергенция поля .

Доказательство. Имеем ,

.

Поэтому достаточно доказать следующие равенства:

, ,

Пусть . Тогда

Далее

Аналогично , .

Теорема доказана.

Из теоремы Гаусса – Остроградского вытекает важная в приложениях вторая формула Грина.

Пусть - пространственное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью . На поверхности выбрана сторона с помощью внешней нормали. В теле заданы два гладких векторных поля и . В этих предположениях выполняется утверждение.

Теорема (вторая формула Грина) Справедливо следующее равенство

,

где - производная по направлению внешней нормали .

Доказательство. Имеем

.

Согласно теоремы Гаусса - Остроградского

где поверхностные интегралы второго рода взяты по внешней стороне поверхности , ограничивающей область . Пусть . Тогда поверхностные интегралы второго рода в правых частях могут быть записаны как поверхностные интегралы первого рода:

Окончательно получим