2. Формула Грина

Теорема (Формула Грина). Пусть в односвязной области задано векторное поле таким, что функции - непрерывные в Е .Кривая , множество , ограниченное этой кривой выпуклое . Тогда справедлива формула

.

Здесь кривая обходится в положительном направлении.

Доказательство. Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков.

y

y = y₂(x)

D

A

C

B

y= y₁(x)

0 x₁ x₂ x

Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

Рассуждая аналогично, для области правильной при проектировании на ось , получим

(2)

Складывая (1) и (2), получим формулу Грина.

3. Условия независимости интеграла от пути в r2

Лемма. Работа векторного поля не зависит от пути тогда и только тогда, когда любая циркуляция равна 0.

Доказательство. Пусть произвольный замкнутый контур, точки А и В – любые точки на . Тогда

.

Работа векторного поля не зависит от пути .

Лемма доказана.

Векторное поле называется потенциальным, если существует функция 2-х переменных - скалярное поле такое, что ,т.е .

Замечание. В дифференциальных уравнениях уравнение первого порядка, записанное в дифференциалах называется уравнением в полных дифференциалах, если существует скалярное поле : .

В этом случае общий интеграл уравнения имеет вид

Теорема. Если в односвязной области функции непрерывны, то следующие условия эквивалентны:

1. поле - потенциальное в ;

2. в ;

3. Работа поля в не зависит от пути.

Доказательство. Будем следовать схеме .

• 

Поле - потенциальное в , поэтому -скалярное поле : , т.е.

.

• 

Достаточно проверить, что любая циркуляция в равна 0.

Используем формулу Грина, получим

.

• 

Покажем, что следующее скалярное поле и есть искомый потенциал:

Итак,

-потенциальное поле в .

Лекция 9 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения

1. Площадь поверхности в r3

Поверхность в задается параметрически при помощи 2 параметров

,

,

- поверхность в .

Иногда поверхность задают при помощи одной функции двух переменных

.

Поверхность называется гладкой если:

.

Из этих частных производных можно записать матрицу Якоби нашего отображения

.

Точку назовем не особой, если ранг А в этой точке максимален и равен двум. В не особой точке векторы-столбцы являются линейно не зависимыми.

Выясним геометрический смысл этих векторов. Эти векторы - касательные векторы к линиям на поверхности. В не особой точке эти касательные векторы не коллинеарные.

Можно показать, что все касательные векторы к кривым на поверхности, проходящие через , лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

В не особой точке уравнение касательной плоскости можно записать с помощью точки и двух касательных векторов :

.

Рассмотрим вектор .

Очень часто в качестве нормального вектора будем использовать единичный нормальный вектор

Определим первую квадратную форму на поверхности. Пусть

Таким образом, первая квадратичная форма на поверхности имеет вид: .

Определение. Площадью гладкой поверхности , -измеримо по Жордану, называется число: .

Преобразуем эту формулу для площади поверхности