Лекция 7 Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения

1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление

Пусть в параметрически задана кривая .

Будем предполагать, что кривая является гладкой( кусочно-гладкой), т.е функции непрерывно дифференцируемые: . Такая кривая является спрямляемой. В этом случае длину дуги части кривой, отвечающей отрезку можно вычислять при помощи формулы

.

Если -длина части кривой, отвечающей отрезку .

Пусть -разбиение отрезка , - разметка разбиения,

.

Образуем интегральную сумму

.

Будем говорить, что для функции существует криволинейный интеграл первого рода по кривой , если существует , не зависящий от . Т.е

Значение интеграла полагают равным числу А:

.

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода:

1. .

2. Если .

3.Если на , то .

4. ,

где - длина

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

По определению интеграла сумма является интегральной суммой для интеграла Римана-Стилтьеса поэтому .

Если , - гладкая кривая, то

Если кривая задана в трехмерном пространстве

, то аналогично

2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Геометрическое приложение: Вычисление длины кривой.

Длина кривой

Механические приложения: Вычисление массы, статических моментов, координат центра тяжести.

Пусть сначала - плоская кривая - плотность на кривой . Имеют место следующие формулы:

Масса

.

Первые статические моменты относительно осей и

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно осей и

Момент инерции относительно начала координат

.

Пусть теперь - пространственная кривая , -плотность на кривой . Имеют место следующие формулы :

Масса

.

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты (моменты инерции) относительно координатных плоскостей:

Момент инерции относительно начала координат

Лекция 8 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2

1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл

Пусть - гладкая кривая,

.

Пусть - разбиение отрезка ,

- мелкость разбиения,

- разметка разбиения.

Образуем следующую интегральную сумму:

Будем говорить, что для функций существует криволинейный интеграл второго рода по кривой в направлении возрастания параметра (от начальной точки кривой к конечной точке), если существует , не зависящий от , т.е.

Этой интеграл имеет следующее обозначение

.

Он зависит от ориентации кривой

В случае замкнутой кривой различают положительную и отрицательную ориентацию: против часовой стрелки и по часовой стрелке.

Этот случай подчеркивают следующим обозначением

.

Функции в записи интеграла можно считать координатами вектора . Его называют векторным полем, заданным на кривой .

Обозначим

Криволинейный интеграл определяет работу векторного (силового) поля вдоль кривой в направление от точки А к точке В. Работу по замкнутой кривой часто называют циркуляцией.