Лекция 5 Тройной интеграл, его вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

1. Тройной интеграл, его вычисление

Тройной интеграл по параллелепипеду, измеримое по Жордану трехмерное множество, тройной интеграл по измеримому по Жордану множеству определяется точно также как и в двумерном случае. Теорема Фубини в этом случае выглядит следующим образом.

Теорема Фубини. Если - прямоугольник, - параллелепипед, , то

В случае тройного интеграла правильная область (цилиндрическое тело) при проектировании на плоскость записывается так:

.

Если , то применение теоремы Фубини сводит вычисление тройного интеграла к следующему повторному интегралу:

2. Замена переменных в тройном интеграле

Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Если -компактные, измеримые по Жордану множества в , - криволинейная система координат, функция , то и

.

3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты являются обобщением полярных координат. Точка задается полярными координатами проекции на плоскость и координатой по оси .

Название координат связано с тем, что уравнение прямого кругового цилиндра в них имеет наиболее простое уравнение .

Соответствующее отображение имеет вид:

Якобиан для них такой же, как и для полярных координат:

.

В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом:

.

В сферической системе координат точка задается тройкой , где - расстояние от точки до начала координат, - полярный угол проекции точки на плоскость (иначе говоря, угол , где - проекция точки ), - угол между и .

Название связано с тем, что у точек на сфере с центром в начале координат .

Формулы перехода имеют вид:

_{Найдем касательныу векторы, коэффициенты Ламе и убедимся в ортогональности сферических координат:}

Сферические координаты обычно используют только в случае, когда тело в сферических координат имеет следующее описание:

В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом:

Лекция 6 Механические приложения двойного и тройного интеграла

1. Механические приложения двойного интеграла

Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом.

Пусть на плоскости задана плоская фигура , и пусть непрерывная функция - плотность распределения ее массы. Разобьем фигуру на части сетью гладких кривых и, предполагая, что в пределах одной части плотность распределения масс постоянна, получаем приближенное выражение для массы:

.

В пределе имеем

.

Аналогично выводятся формулы для статических моментов первого порядка и относительно осей и :

и ,

Координаты центра тяжести пластинки вычисляются по формулам:

.

Вторые статические моменты (моменты инерции относительно осей и ) вычисляются по формулам:

и .

Наконец, момент инерции относительно начало координат имеет вид

.

2. Механические приложения тройного интеграла

Аналогично двумерному случаю можно выписать следующие формулы.

Масса тела:

.

Первые статические моменты относительно координатных плоскостей:

Координаты центра тяжести

.

Вторые статические моменты:

.