2. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости

Пусть ограниченное множество, А- прямоугольник,

-ограниченная функция,

.

Определение. Функция , если . При этом .

Можно показать, что это определение корректное, т.е. не зависит от выбора прямоугольника А.

Отметим, в частности, что по этому определению .

Теорема. (Достаточное условие интегрируемости по Риману). Если и Е измеримо по Жордану, то функция .

Доказательство. Достаточно доказать следующее включение

.

Пусть , Е измеримо по Жордану, т.е. .

Пусть - точка непрерывности функции , , т.е существует окрестность : .

Отсюда следует, что - точка непрерывности функции .

Пусть , т.е. существует окрестность : . Это также точка непрерывности .

Искомое включение доказано. Теорема доказана.

3. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем

Будем предполагать, что все множества является измеримыми по Жордану.

Отметим следующие свойства интеграла Римана.

1. Если

(линейность интеграла Римана по функциям).

2. Если .

3. Если , то

(линейность интеграла Римана по множествам).

Доказательство.

,

, .

Имеем .

Отсюда .

4. Если .

5. Если , то и

Следует из неравенств .

6. Если , то .

Следует из неравенств

7. Если , ограничена на Е, то

Следует из неравенств

Теорема о среднем. Если Е компактное и связное множество в , , то существует точка : .

Если , то число называется средним значением функции на множестве .

Доказательство. Из непрерывности и компактности вытекает что существуют точки .

Из свойства 6 следует, что . Если

.

По теореме о промежуточных значениях из непрерывности и связности Е следует, что существует точка : .

Теорема доказана.

4. Вычисление двойного интеграла

Применим теорему Фубини к вычислению двойного интеграла по произвольной области.

Пусть , . Такая область называется правильной при проектировании ее на ось Аналогично, область называется правильной при проектировании ее на ось .

С помощью теоремы Фубини сведем вычисление двойного интеграла по правильной области при проектировании на ось к повторному интегралу. Пусть ,

По определению интеграла и теореме Фубини

Лекция 4 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

1. Криволинейные координаты. Координатные линии. Коэффициенты Ламе.

Будем говорить, что отображение , , определяет криволинейные координаты в области если :

• -биекция между

• -гладкое отображение, т.е или

• Якобиан отображения отличен от 0

Если в отображении зафиксируем все переменные кроме одной, то получим параметрическое уравнение кривой, называемое координатной линией. Если фиксируем все переменные кроме двух, то получим координатную поверхность размерности 2.

Касательные векторы к координатным линиям имеют вид:

Модули этих векторов называются коэффициентами Ламе

.

В якобиане касательные векторы стоят по столбцам, поэтому геометрический смысл модуля Якобиана - объем параллелепипеда, натянутого на касательные векторы.

2. Ортогональные криволинейные координаты. Якобиан

Криволинейная система координаты называется ортогональной, если для : .

В случае ортогональных координат модуль Якобиана .

3. Замена переменных в двойном интеграле

Теорема (о замене переменных в двойном интеграле). Если -компактные, измеримые по Жордану множества в , - криволинейная система координат, функция , то и

.

4. Двойной интеграл в полярных координатах

Связь полярных координат с декартовыми имеет вид:

.

Найдем касательные векторы и коэффициенты Ламе:

Полярные координаты – ортогональные:

.

Область называется правильной областью в полярной системе координат, если ее можно записать системой неравенств

.

В этом случае формула замены переменных выглядит следующим образом:

.