Лемма 4. Множество - ограниченное и замкнутое, т.Е. Компактное.
Доказательство.
Так как
,
то
-
ограниченное.
Пусть
- предельная точка
.
Покажем, что она принадлежит
.
Поскольку
предельная точка , то существует
последовательность
,
сходящая к
.
Отсюда для любого
найдется
,
открытое, поэтому существует
такое, что
.
Отсюда имеем
,
то есть
.
Лемма доказана.
Пусть
-
множество точек разрыва функции
на прямоугольнике А.
Лемма
5.
.
Множество,
которое можно представить в виде счетного
объединения замкнутых множеств называется
множеством типа
.
Итак, множество точек разрыва функции
-
множество типа
.
3. Критерий Лебега
Теорема
1. (Критерий
Лебега).
Ограниченная
функия
тогда и только
тогда, когда
.
Следствие. Всякая функция, имеющая не более чем счетное множество точек разрыва интегрируемая.
Теорема
2. (Критерий
интегрируемости). Ограниченная функия
тогда и только
тогда, когда для любого
.
.
Сначала выведем теорему 1 из теоремы 2. Доказательство теоремы 1.
Необходимость.
Ограниченная функция
по теореме 2, если для любого
.
.
Достаточность.
По теореме 2 имеем .
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.
Необходимость
. Предположим,
что существует
,
.
То есть найдется
такое, что для любого набора
,
,
но
.
Рассмотрим любое разбиение Т прямоугольника
А на прямоугольники
.
Пусть
-множество
всех тех прямоугольников
,
внутри которых находится хотя бы одна
точка множества
.
Заметим что для любого прямоугольника
из
колебание функции на этом прямоугольнике
не меньше чем
.
Отсюда для любого Т
Это означает, что функция не интегрируема
на прямоугольнике. Получили противоречие.
Значит, для любого
.
Достаточность.
Положим
.
Так
как
,
то его можно покрыть открытыми
прямоугольниками
,
.
Выделим из
конечное подпокрытие
.
Рассмотрим
.
Оно является компактом. Для любого
,
.Из
определения
получим,
что существует открытый квадрат Н такой,
что колебание функции на нем меньше
чем
.
Квадраты Н образуют открытое покрытие
множества К. Выделим из него конечное
покрытие V.
Продолжим стороны прямоугольников,
составляющих I
и V
до пересечения со сторонами прямоугольника
А. Получим разбиение Т, для которого
.
Таким образом, .
Теорема доказана.
Следствия из критерия Лебега.
.
.Пусть
.
Тогда
.
Лекция 3 Мера Жордана. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла
1. Мера Жордана. Критерий измеримости
Пусть
- ограниченное множество, А- прямоугольник,
,
-
характеристическая
функция
множества E.
Определение.
Множество
Е измеримо по Жордану или имеет объем
,
если
,
при этом
.
Это определение на самом деле не зависит от выбора прямоугольника А и в этом смысле является корректным. Пусть
-
множество всех внутренних точек множества
Е,
-
внешность множества Е или внутренность
дополнения множества Е,
-граница
множества Е.
Теорема.
(Критерий измеримости по Жордану). Е
измеримо по Жордану тогда и только
тогда, когда
Доказательство.
Е измеримо
по Жордану
.
Докажем
равенство
,
т.е. что множество точек разрыва
характеристической
функции совпадает с границей множества.
Рассмотрим три случая для точек прямоугольника А
Точка
.
Тогда существует окрестность
такая, что
.Точка
существует окрестность
такая, что
.
Точка
.