2. Эквивалентность двух определений интеграла Римана

Доказательство эквивалентности двух определений интеграла Римана будет основано на двух леммах Дарбу.

Лемма 1. .

Лемма 2. .

Теорема. Оба определения интеграла Римана является эквивалентными, т.е

Если в смысле первого определения, то в смысле определения второго и обратно.

Доказательство.

1. . Доказательство опирается на вторую лемму Дарбу.

Если и не зависит от , то : . Отсюда будет

. Поэтому

, .

2. . Доказательство опирается на первую лемму Дарбу.

3. Критерий интегрируемости Римана

Теорема (критерий интегрируемости Римана).

, т.е интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда .

Будем использовать запись .

Здесь - колебание функция на прямоугольнике (разность между самым большим и самым маленьким значением).

Следствие. является линейным пространством и кольцом.

Доказательство. Доказательство сводится к проверке замкнутости относительно сложения и умножения.

Для доказательства оценим колебания на прямоугольнике суммы и произведение функций.

а. .

Имеем

.

Далее .

б.

Имеем

Далее все очевидно.

Теорема. , т.е. если функция непрерывна, то она интегрируема.

Доказательство. Имеем .

Если , А- компактное, то равномерно непрерывна на А, поэтому

, такое, что , и будет .

Итак .

Отсюда, по критерию Римана .

4. Вычисление интеграла путем сведения к повторному

Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику основано на теореме Фубини. В этом случае она выглядит следующим образом.

Теорема Фубини. Если , то для любого , и справедливы следующие равенства

Последние два интеграла называют повторными.

Лекция 2 Критерий Лебега существования двойного интеграла по прямоугольной области

1. Множества меры и объема нуль

Определение 1. Множество имеет объем нуль или меру Жордана нуль, если для любого существует конечный набор прямоугольников , для которого

1. ,

2. .

Определение 2. Множество имеет меру нуль или меру Лебега нуль, если для любого существует прямоугольники , для которых

1. ,

2. .

Понятно, что множество объема нуль имеет и меру нуль. Обратное утверждение не верно.

Лемма 1. Счетное объединение множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Доказательство. Пусть . Тогда существует набор :

1. ,

2. .

Тогда для прямоугольников :

1. ,

2. .

Т.е. .

Лемма 2. Компактное множество меры нуль имеет и объем нуль.

Доказательство. Пусть . Для любого существуют открытые прямоугольники :

1. ,

2. .

Так как Е компактное и - открытое покрытие Е, то по определению компактного множества существует конечный набор :

1. ,

2. .

Т.е. .

2. Колебание функции в точке. Описание множества точек разрыва

Определение 3. Колебанием функция в точке называется число .

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 3. -точка непрерывности ограниченной функции тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция непрерывна в точке . Предположим, что . Рассмотрим . Из определения получим, что существуют точки такие, что .

Кроме того, имеем . Это противоречит непрерывности функции в точке . Следовательно .

Достаточность. Поскольку , то для любого существует такое, что для любых имеем . Полагая , получаем непрерывность в точке то лемма.