- •Иванов в.И.
- •Конспект лекций
- •Математический анализ (Часть 3)
- •Тула 2013 г.
- •Содержание
- •Лекция 1 Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения. Их эквивалентность. Критерий интегрируемости Римана. Вычисление интеграла путем сведения к повторному
- •1. Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения
- •2. Эквивалентность двух определений интеграла Римана
- •3. Критерий интегрируемости Римана
- •4. Вычисление интеграла путем сведения к повторному
- •Лекция 2 Критерий Лебега существования двойного интеграла по прямоугольной области
- •1. Множества меры и объема нуль
- •2. Колебание функции в точке. Описание множества точек разрыва
- •Лемма 4. Множество - ограниченное и замкнутое, т.Е. Компактное.
- •3. Критерий Лебега
- •Лекция 3 Мера Жордана. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла
- •1. Мера Жордана. Критерий измеримости
- •2. Двойной интеграл по измеримой по Жордану области. Достаточное условие интегрируемости
- •3. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем
- •4. Вычисление двойного интеграла
- •Лекция 4 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
- •1. Криволинейные координаты. Координатные линии. Коэффициенты Ламе.
- •Лекция 5 Тройной интеграл, его вычисление. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •Лекция 6 Механические приложения двойного и тройного интеграла
- •1. Механические приложения двойного интеграла
- •Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом.
- •2. Механические приложения тройного интеграла
- •Лекция 7 Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода
- •Лекция 8 Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл. Формула Грина. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •1. Криволинейный интеграл 2-го рода. Его физический смысл
- •2. Формула Грина
- •3. Условия независимости интеграла от пути в r2
- •Лекция 9 Площадь поверхности в r3. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление, приложения
- •1. Площадь поверхности в r3
- •2. Поверхностный интеграл 1-го рода. Его свойства, вычисление
- •3. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода
- •1. Поверхностный интеграл 2-го рода. Поток векторного поля
- •2. Связь поверхностного интеграла 2-го рода с интегралом 1-го рода
- •3. Теорема Гаусса-Остроградского
- •4. Соленоидальное поле. Дивергенция
- •Лекция 11 Формула Стокса. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в r3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор
- •1. Формула Стокса
- •3. Потенциальное поле. Циркуляция. Ротор
- •2. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути в r3
- •1. Дифференциальные векторные операции 2-го порядка
- •2. Гармоническое поле, уравнение Лапласа, гармонические функции
- •3. Разложение произвольного векторного поля, уравнение Пуассона
- •4. Ортогональные криволинейные координаты. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах
- •Лекция 13 Сходимость и сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши
- •1. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимые условия сходимости
- •2. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши
- •Лекция 14 Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости. Признаки сравнения. Признак Даламбера
- •1. Сходимость рядов с положительными членами. Критерий сходимости
- •2. Признаки сравнения
- •3. Признак Даламбера
- •Лекция 15 Радикальный признак Коши. Признак Коши для рядов с монотонными членами. Интегральный признак Коши
- •1. Радикальный признак Коши
- •2. Признак Коши для рядов с монотонными членами
- •3. Интегральный признак Коши
- •Лекция 16 Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак абсолютной сходимости. Признаки Лейбница, Абеля, Дирихле
- •1. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости
- •2. Признак абсолютной сходимости
- •3. Признак Лейбница
- •4. Признаки Абеля, Дирихле
- •1. Условная и безусловная сходимости. Теорема Римана о перестановках условно сходящегося ряда
- •2. Критерий безусловной сходимости
- •3. Сходимость бесконечного произведения. Необходимое условие сходимости
- •4. Сведение сходимости бесконечного произведения к сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимости
- •Библиографический список Основная литература
- •Дополнительная литература
Дополнительная литература
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004. – 640с.
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.: Высшая школа, Кн.1, 2002. – 728с., Кн.2, 2002. – 712с.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: АСТ, 2007. – 560с.
Золотухин А.Я. Элементы теории множеств, меры и интеграла Лебега. Тула: ТулГУ, 2007. – 107с.
Рудин У. Основы математического анализа. СПб.: Лань, 2004. – 320с.
Периодические издания
Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. — М.: МГУ.— ISSN 0579-9368.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Садовничий В.А. Математический анализ. Т.1 / Под ред. В.А. Садовничего.— М.: РХД, 2004.— 1опт. диск.(CD ROM).— (Электронная библиотека).
Садовничий В.А. Математический анализ. Т.2 / Под ред. В.А. Садовничего.— М.: РХД, 2004.— 1опт. диск.(CD ROM).— (Электронная библиотека).
www.INTUIT.ru
Методические указания к практическим занятиям
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математический анализ». Тула: ТулГУ, 2013. — (Электронное издание).
Методические указания к курсовому проектированию и другим видам самостоятельной работы
Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Математический анализ». Тула: ТулГУ, 2013. — (Электронное издание).
Методические указания к самостоятельной работе студента по дисциплине «Математический анализ». Тула: ТулГУ, 2013. – (Электронное издание).