3. Сходимость бесконечного произведения. Необходимое условие сходимости

Пусть положительная последовательность, т.е. .

Формальная запись (1) называется бесконечным произведением.

Будем говорить, что бесконечное произведение (1) – сходится, если где последовательность частичных произведений. В противном случае произведение (1) – расходится.

Необходимое условие сходимости. Если (1) сходится, то

Действительно,

4. Сведение сходимости бесконечного произведения к сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимости

Основная теорема. Бесконечное произведение (1) – сходится сходится (2).

Доказательство. (1) – сходится

(2) – сходится.

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Получаем сходится условно.

Исходный ряд сходится условно.

Бесконечное произведение (1) назовём абсолютно сходящимся, если сходится ряд . В противном случае (1) сходится условно. В предыдущем примере представлено условно сходящееся бесконечное произведение.

Для дальнейшего удобно обозначить и рассматривать (3), (4), (5).

Теорема. Произведение (3) – сходится абсолютно (4) сходится абсолютно.

Доказательство. (3) сходится абсолютно сходится и в частности . Сравним ряды и при условии : для . Из этих неравенств вытекает, что эти ряды сходятся абсолютно.

Доказано.

Следствие: если в произведении (3) все b_n, начиная с некоторого номера, имеют один и тот же знак, то сходимость произведения (3) эквивалентна сходимости ряда (4).

Пример. расходится.

Анализ этой теоремы показывает, что удобно использовать разложение .

Задача. Обозначим: «+» - сходится, «-» - расходится, и заполним следующую таблицу:

	(4)	(5)	(3)
1.	+	+	+
2.	+	-	-
3.	-	+	-
4.	-	-	?

Доказательство 1. , - сходятся

. Доказано.

Пример. сходится, т.к. сходится, но расходится.

Доказательство 2. Опять и из признака сравнения ряд расходится. Общий член есть сумма двух последовательностей – сходящейся и расходящейся, значит, ряд расходится, иначе ряд был бы сходящимся как разность двух сходящихся рядов. Доказано.

Доказательство 3. Опять

И как в предыдущем случае ряд сходится.

Доказано.

Доказательство 4. Два примера:

1. “-”, “-” “-” ;

2. “-”, “-” “+”.

Ряд Частичная сумма порядка совпадает с частичной суммой гармонического ряда, т.е. ряд расходится.

расходится. Оба ряда расходятся.

Вычислим частичное произведение

т.к. произведение расходится по следствию: обобщённый гармонический ряд с показателем p = - сходится.

сходится к тому же числу, а значит и всё произведение сходится.

Доказано

Библиографический список Основная литература

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Физматлит, Ч.1, 2002. – 646с., Ч. 2, 2002. – 447с.

2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: МЦНМО, Ч.1, 2002. – 657с., Ч. 2, 2002. – 787с.

3. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты : учеб. пособие для вузов / Л. А. Кузнецов .— 10-е изд., стер. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2008 .— 240 с.

4. Глаголев В.В., Иванов В.И., Смирнов О.И., Горбачев Д.В. Сборник заданий по математическому анализу. Типовые расчеты с приме­рами решений. Ч. 1. Тула: ТулГУ, 2007. – 172с.

5. Глаголев В.В., Иванов В.И., Смирнов О.И. Сборник заданий по математическому анализу. Типовые расчеты. Тула: ТулГУ, 2010. – 96с.