4. Признаки Абеля, Дирихле
Пусть
дан ряд
(1).
Введём преобразования Абеля
Доказательство.
Доказано.
С помощью преобразования Абеля доказываются следующие признаки сходимости ряда (1).
Признак Дирихле.
Если
невозрастающая
и стремится к нулю
;
ограниченная,
то ряд (1) – сходится.
Доказательство. Воспользуемся критерием Коши и будем оценивать суммы:
(по
преобразованию Абеля)
и
по критерию Коши ряд (1) сходится.
Доказано.
Признак Абеля.
Если
монотонная и ограниченная;
сходится,
то ряд (1) – сходится.
Доказательство аналогично доказательству признака Дирихле.
Частным случаем признака Дирихле является признак Абеля.
Если
монотонно
убывает и стремится к нулю, то
сходится
(2).
ограниченные,
значит ряд (2) сходится.
Рассмотрим
ряд
Оценим
суммы
Справедливы оценки
и
по признаку Дирихле ряд сходится.
Задача.
Исследовать на сходимость ряд
Указание.
Рассмотреть
ЛЕКЦИЯ 17
Условная и безусловная сходимости. Теорема Римана о перестановках условно сходящегося ряда. Критерий безусловной сходимости. Сходимость бесконечного произведения. Необходимое условие сходимости. Сведение сходимости бесконечного произведения к сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимости
1. Условная и безусловная сходимости. Теорема Римана о перестановках условно сходящегося ряда
Биекция
называется
числовой
перестановкой N.
Если
числовой
ряд (1), то ряд вида
называется
его перестановкой.
Пример.
называется его перестановкой.
Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся.
Теорема
Римана. Если
ряд (1) сходится условно, то
и
существуют перестановки, для которых
переставленный ряд расходится.
Введем некоторые обозначения:
Доказательство.
Пусть ряд
(1) – сходится условно,
В
итоге построен ряд
.
Получили ряд, являющийся перестановкой
исходного ряда.
Нужно
показать, что эта перестановка сходится
к числу S.
Возможны
четыре случая, пусть
тогда
;
Оценим
разность
в
каждом из четырёх случаев.
Доказано.
Ряд
(1) называется универсальным
относительно
перестановок, если
Теорема (об универсальных рядах). Ряд (1) – универсальный относительно перестановок
Следствие: условно сходящийся ряд является универсальным относительно перестановок.
Задача. Проверить выполнение условий (1), (2) теоремы об универсальных рядах для условно сходящегося ряда.
противоречие.
Можно
определить и другие понятия универсального
числового ряда, например, универсальный
относительно знака: ряд (1) – универсальный
относительно знака, если
Задача.
Пусть ряд
сходится.
Что можно сказать о сходимости рядов
Ряд
не
обязан сходиться, например
Ряд
также
не обязан сходиться. Построить пример.
2. Критерий безусловной сходимости
Теорема (о безусловной сходимости). Ряд (1) – сходится безусловно тогда и только тогда, когда ряд (1) сходится абсолютно.
Доказательство. Необходимость.
(1) – сходится безусловно (от противного) (1) – сходится условно (по теореме Римана) (1) – не сходится безусловно – противоречие (1) – сходится абсолютно.
Достаточность.
перестановка
Доказано.
Замечание. Для абсолютно сходящегося ряда модуль суммы будет:
т.к.
при
