3. Признак Даламбера

Если для ряда то

Доказательство. Пусть тогда ряд сходится, расходится, но

Пусть тогда и для сходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пусть

Значит, ряд расходится.

Доказано.

Признак Даламбера с использованием нижнего и верхнего предела:

1. Если то ряд сходится.

2. Если то ряд расходится и

Лекция 15 Радикальный признак Коши. Признак Коши для рядов с монотонными членами. Интегральный признак Коши

1. Радикальный признак Коши

Пусть тогда:

1) ряд сходится;

2) ряд расходится

Доказательство. Верхний предел последовательности – это наибольший частичный предел, или

1)

2)

Если и для

и по признаку сравнения со сходящейся геометрической прогрессией данный ряд сходится.

Пусть и для

Доказано.

Радикальный признак Коши «сильнее», чем признак Даламбера, т.е. любой ряд, который можно исследовать при помощи признака Даламбера, можно и исследовать при помощи признака Коши. Но есть такие ряда, которые нельзя исследовать при помощи признака Даламбера, но можно исследовать при помощи признака Коши.

Пример.

По радикальному признаку Коши ряд сходится.

Используем признак Даламбера.

Получаем неясность.

2. Признак Коши для рядов с монотонными членами

Пусть невозрастающая

Тогда - сходится сходится.

Доказательство. Необходимость.

Пусть ряд – сходится  ограниченная 

ограниченная  ряд – сходится.

Достаточность.

Пусть ряд – сходится  ограниченная 

ограниченная  ряд - сходится.

Пример 1. убывающая.

сходится

Пример 2. сходится сходится при

3. Интегральный признак Коши

Пусть невозрастающая. Тогда ряд сходится сходится и для остатка

Пример. сходится.

сходится.

Доказательство. Будем использовать геометрическую интерпретацию.

или

Так как сходимость ряда эквивалентны ограниченности и , то утверждение признака вытекает из этих неравенств.

Оценим остаток.

Доказано.

Пример. Исследовать сходимость .

при расходится. Значит, исходный ряд расходится.

Лекция 16 Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Признак абсолютной сходимости. Признаки Лейбница, Абеля, Дирихле

1. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости

Пусть

ряд с положительными членами (2)

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2). Сходящийся ряд (1) называют условно сходящимся, если он абсолютно расходится.

2. Признак абсолютной сходимости

Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Доказательство. Основано на применении критерия Коши.

Ряд (2) – сходится  (по критерию Коши) 

 (по критерию Коши)  ряд (1) – сходится. Доказано.

3. Признак Лейбница

Существуют ли условно сходящиеся ряды?

Рассмотрим класс знакочередующихся рядов: (3).

Признак Лейбница.

Если для ряда (3) выполнены условия:

1. невозрастающая;

2. 

то ряд (3) сходится и справедлива оценка остатка

Доказательство. Рассмотрим

т.е. неубывающая. С другой стороны

Итак, последовательность неубывающая и ограниченная сверху и . Для последовательности частичных сумм с нечётными номерами Значит,

Остаётся оценить остаток:

Доказано.

Пример.

расходится

Исходный ряд сходится условно.