Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Иванов в.И.

профессор, д.ф.-м.н.

Конспект лекций

по дисциплине

Математический анализ (Часть 3)

Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»

Форма обучения: очная

Тула 2013 г.

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № 1 от 02 сентября 2013 г.

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

Содержание

Тула 2013 г. 1

Лемма 4. множество - ограниченное и замкнутое, т.е. компактное. 9

Двойной интеграл позволяет вычислить массу, координаты центра тяжести, статичные моменты первого и второго порядка плоской пластинки, начиненной веществом. 19

и , 20

и . 20

38

Библиографический список 57

Основная литература 57

Дополнительная литература 57

Периодические издания 57

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы 57

Методические указания к практическим занятиям 58

Методические указания к курсовому проектированию и другим видам самостоятельной работы 58

Лекция 1 Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения. Их эквивалентность. Критерий интегрируемости Римана. Вычисление интеграла путем сведения к повторному

1. Двойной интеграл по прямоугольной области. Два определения

Пусть -параллелепипед в (замкнутый параллелепипед с гранями параллельными координатным плоскостям), - объем параллелепипеда, функция -ограниченная.

Необходимо определить число связанное с , называемое интегралом от по множеству : .

Для простоты все построения будем вести для . В этом случае

,

.

Пусть - множество точек ,

- разбиения отрезков ,

-разбиение прямоугольника ; под разбиением прямоугольника будем понимать и маленькие прямоугольники

.

Этих прямоугольников будет . Пусть далее

- мелкость или диаметр разбиения (максимальная диагональ прямоугольников ),

- разметка разбиения ,

размеченное разбиение.

В дальнейшем индексы у прямоугольников будем опускать, т.е будем писать .

Определим 3 типа интегральных сумм:

• ,

- интегральная сумма, отвечающая размеченному разбиению ;

• - верхняя сумма Дарбу;

• -нижняя сумма Дарбу.

Отметим следующие свойства этих сумм

1. Для любого : .

2. При измельчении разбиения (получается путем добавления новых точек на или ) верхние суммы Дарбу не увеличиваются, а нижние суммы Дарбу не уменьшаются.

3. Для любых : ,

Действительно, если измельчение как как и то .

4. Если - множество всех нижних сумм Дарбу, - множество всех верхних сумм Дарбу, то и по аксиоме непрерывности существует : .

Определение 1. - нижний интеграл Дарбу.

Определение 2. - верхний интеграл Дарбу.

5. Для любых : .

Определение 3. Первое определение интеграла Римана.

Будем говорить, что функция интегрируема по Риману на прямоугольнике и интеграл равен числу , если существует , не зависящий от разметки , т.е для любого существует такое, что для любого разбиения и любой разметки разбиения : .

Будем писать .

Определение 4. Второе определение интеграла Римана.

Будем говорить, что функция интегрируема по Риману на прямоугольнике и интеграл равен числу , если .

Критерий Коши. Для того чтобы функция была интегрируема на прямоугольнике необходимо и достаточно ,чтобы для любого существовало такое, что для любых разбиений выполняется

.