Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

Иванов в.И.

профессор, д.ф.-м.н.

Конспект лекций

по дисциплине

Математический анализ (Часть 4)

Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»

Форма обучения: очная

Тула 2013 г.

Рассмотрено на заседании кафедры

протокол № 1 от 02 сентября 2013 г.

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

Содержание

Тула 2013 г. 2

Библиографический список 56

Основная литература 56

Дополнительная литература 56

Периодические издания 56

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы 56

Методические указания к практическим занятиям 56

Методические указания к курсовому проектированию и другим видам самостоятельной работы 57

ЛЕКЦИЯ 1

Поточечная и равномерная сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

1. Поточечная и равномерная сходимости функциональной последовательности и функционального ряда

Сумма геометрической прогрессии сходится и определяет новую функцию. Это есть пример функционального ряда.

Пусть последовательность функций, определённых на одном и том же множестве

Функциональный ряд – это ряд вида .

Определим область сходимости (поточечной сходимости) для функциональной последовательности и функционального ряда: предельная функция. Аналогично для функционального ряда область сходимости (поточечной сходимости) функционального ряда, а сумма функционального ряда.

Нас будут интересовать следующие три задачи.

Задача 1. Пусть последовательность функций . Когда .

П римеры. Пусть .

.

Аналогичную задачу можно поставить и для функционального ряда.

П ример. .

Задача 2. Пусть (R – интегрируема). Когда можно гарантировать, что или .

.

Задача 3. Пусть (С¹- непрерывно дифференцируема). Когда , или .

Пример. .

Итак, в результате поточечной сходимости предельная функция не наследует хорошие свойства функции последовательности. Необходимо усиление поточечной сходимости. Таким усилением будет равномерная сходимость.

Равномерная сходимость последовательности функций и функционального ряда

Вначале проанализируем условие поточечной сходимости последовательности функций на отрезке: на .

Будем говорить, что последовательность равномерно сходится на к f(x), т.е. , если .

Пусть , тогда эквивалентное определение равномерной сходимости выглядит так: .

Ряд называется равномерно сходящимся к своей сумма на [a, b], если его последовательность частичных сумм сходится равномерно на [a, b] к S(x), т.е. или

Из равномерной сходимости вытекает поточечная сходимость, а обратное - неверно. Рассмотрим примеры.

Пример 1.

, т.е. поточечная сходимость есть, а равномерной сходимости нет.

Пример 2.

т.е. равномерной сходимости нет.

Пример 3.

т.е. равномерной сходимости нет.

Пример 4.

т.е. равномерная сходимость есть, но и в этом случае её недостаточно.