2.2. Математичні моделі вітру

Швидкість вітру прийнято представляти у вигляді суми повільно мінливої швидкості горизонтального градієнтного вітру й швидкості довільно спрямованого турбулентного вітру, що швидко міняється по напрямку й абсолютній величині [2]. Швидкість турбулентного вітру в кожній реалізації є випадковим процесом зі спектральними щільностями проекцій , , , апроксимованими дрібно-раціональними виразами (модель Драйдена) [2,25,26]:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

де , , – масштаби поздовжньої, вертикальної й бічної турбулентності; , , – середньоквадратичні відхилення (СКВ) проекцій швидкості турбулентного вітру.

Виразам (1.7)-(1.9) відповідають диференційні рівняння для формуючих фільтрів:

; (1.10)

; (1.11)

; (1.12)

; (1.13)

. (1.14)

У цих рівняннях _{, ,} – білі шуми, що породжують , , - турбулентні складові проекцій швидкості вітру; ; , - допоміжні змінні.

2.3. Рівняння літака як об'єкта керування в просторі станів

Для вирішення задач синтезу й аналізу законів керування, а також ідентифікації параметрів моделі використовуються векторно-матричні форми запису диференційних рівнянь руху літака з урахуванням моделей двигуна й моделей вітру. Об'єкт керування в просторі станів записують в наступному вигляді [3].

, (1.15)

де – вектор стану, що містить відхилення від програмних значень параметрів просторового руху літака; – вектор керувань (відомих вхідних впливів), що містить кути повороту основних аеродинамічних органів і заслінки, або керуючих органами сигналів; – вектор збурень (невідомих вхідних впливів); – матриці коефіцієнтів лінеаризованих рівнянь математичної моделі (1.1)–(1.5).

У рівнянні (1.15) вектори , , вибирають залежно від розв'язуваної задачі. Для розв'язання задач синтезу й аналізу регуляторів параметрів повздовжнього руху можна використовувати моделі, в яких

; (1.16)

; , (1.17)

де - швидкості градієнтного вітру.

2.4. Лінійний оптимальний спостерігач

Для того щоб до рівнянь (1.15) можна було застосувати алгоритм оптимального фільтра Калмана (ОФК) [4] у його стандартному вигляді, необхідно, щоб компонентами вектора W(t) випадкових вхідних впливів були випадкові процеси типу білого шуму. На практиці випадкові впливи не є білими шумами, зокрема мають спектральну щільність, що змінюється залежно від частоти. Для опису таких випадкових процесів використовують рівняння так званих "формуючих фільтрів", що дозволяють із білого шуму одержати випадковий процес із заданим видом спектральної щільності (або кореляційної функції). Таким чином, якщо до досліджуваної системи прикладається випадковий вплив зі спектральною щільністю, відмінної від спектральної щільності білого шуму, то рівняння динаміки такої системи завжди можна звести до виду (1.15), де компонентами вектора W(t) є випадкові процеси типу білого шуму, якщо до власних рівнянь руху системи додати рівняння формуючих фільтрів (наприклад (1.10) – (1.14)). При цьому вектор стану X(t) буде розширеним за рахунок додавання до змінних x_i(t), що описують динаміку початкового об'єкта, додаткових змінних, які описують формуючі фільтри.

Як правило безпосередньому вимірюванню доступна тільки частина змінних x_i(t), або їхніх лінійних комбінацій. Вектор вимірювання Y(t) відображає вимірювані змінні стану. Тоді з урахуванням можливих завад

Y(t) = C(t)×X(t) + V(t),

(1.18)

де C(t) - матриця зв'язку Y(t) і X(t); V(t) - вектор випадкових шумів вимірювання.

Застосування ОФК дозволяє по неповних зашумлених вимірюваннях Y(t) відновити весь вектор стану X(t) в реальному часі, забезпечуючи мінімум средньоквадратичної помилки оцінювання змінних стану x_i(t). У такий спосіб ОФК з одного боку виконує роль фільтра, фільтруючи сигнали вимірювання Y(t) від шумів V(t), а з іншого боку - працює як спостерігач, що дозволяє оцінювати ті змінні стану x_i(t), які не піддаються безпосередньому вимірюванню.

Щоб можна було відновити всі n змінних стану x_i(t) по вимірюваннях Y(t), необхідно, щоб виконувалася умова повної спостережуваності системи, описуваної рівняннями (1.15), (1.18). У випадку постійних матриць A, C для повної спостережуваності необхідно й достатньо, щоб наступна блокова матриця - матриця спостережуваності

N =

(1.19)

мала повний ранг, тобто ранг рівний n

Якщо ця умова не виконується, то ранг матриці N дорівнює числу змінних стану x_i(t) або їх незалежних лінійних комбінацій, які можна оцінити за спостереженнями (1.18). Алгоритм оцінювання (відновлення) вектора стану X(t) описується наступними рівняннями спостерігача (рівняння оптимального фільтра Калмана):

, ,

(1.20)

де - оцінка вектора стану X(t); - оцінка вектора вимірювання. Як видно з рівнянь (1.20), ОФК являє собою систему зі зворотним зв'язком по оцінці вектора вимірювання, де K(t) - матриця коефіцієнтів підсилення в контурі зворотного зв'язку. Матриця K(t) вибирається оптимальним чином так, щоб зменшити помилку оцінки E(t) = X(t) - (t):

,

(1.21)

де - коваріаційна матриця помилок оцінювання E(t); M[...] - символ математичного очікування.

Для визначення матриці P(t) необхідно розв’язати наступне диференціальне рівняння Ріккаті (якщо ):

,

(1.22)

де Q(t) і R(t) матриці інтенсивностей випадкових процесів W(t) і V(t) відповідно.

Початкові умови, необхідні для розв’язання диференціальних рівнянь (1.20), (1.22), мають вигляд:

ОФК, описуваний рівняннями (1.20) - (1.22), являє собою найкращий в сенсі мінімуму середнього квадрата помилки лінійний алгоритм оцінювання - незалежно від виду розподілу випадкових процесів W(t) і V(t), і найкращий алгоритм із всіх можливих лінійних і нелінійних алгоритмів оцінювання, якщо зазначені випадкові процеси й початковий стан системи X(t_o) мають гаусовскі закони розподілу. Необхідно також відзначити, що ОФК завжди буде стійким, незалежно від того, стійка чи ні вихідна система (1.15).