§ 2. Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r₀ (рис.3). В течение небольшого промежутка времени t точка пройдет путь s и получит элементарное перемещение r.

Величина

^(2.1)

называется средней скоростью движения за время t. Направление средней скорости совпадает с направлением г. Если в (2.1) перейти к пределу при t0, то получим выражение для мгновенной скорости v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения t путь s все больше будет приближаться к r, поэтому

Таким образом, числовое значение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

В случае неравномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости с течением времени изменяется, пользуются скалярной величиной <v> — средней скоростью неравномерного движения на данном участке:

Из рис. 3 вытекает, что <v>><v>, так как s>r и только в случае прямолинейного движения s=r.

Если выражение ds=v dt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время t

^(2.3)

В случае равномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости постоянно, выражение (2.3) примет вид

Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом

§ 3. Ускорение и его составляющие

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За время t движущаяся точка перешла в положение В и побрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению, равную v₁=v+v. Перенесем вектор V₁ в точку А и найдем v (рис. 4).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости v к интервалу времени t:

Мгновенным ускорением α (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение α есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор v на две составляющие. Для этого из точки А (см. рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор CD, равный v_, представляет собой изменение скорости по модулю за время t: v_=v₁-v, Вторая же составляющая вектора v — v_n характеризует изменение скорости за время t по направлению.

Предел отношения , являющийся производной от скорости по времени, определяет быстроту изменения скорости в данный момент времени t и является тангенциальной составляющей ускорения a_

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому s можно считать дугой окружности некоторого радиуса г, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует , но так как АВ = v t, то

В пределе при t0 v₁v

Поскольку v₁v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и v_n стремится к прямому. Следовательно, при t0 векторы v_n и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор v_n, перпендикулярный скорости, будет направлен к центру круга ее кривизны.

Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

С учетом тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) а_=0, а_n=0 — прямолинейное равномерное движение;

2) а_=а=const, а_n=0 – прямолинейное равнопеременное движение.

При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость v₁=v₀, то, обозначив t₂=t и v₂ = v, получим

откуда v = v₀ + at.

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим формулу для пройденного пути в случае равнопеременного движения:

3) а_=f(t), а_n=0 – прямолинейное движение с переменным ускорением.

4) а_=0, а_n=const. При а_=0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a_n=v²/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, имеем дело с равномерным движением по окружности;

5) а_=0, а_n=f(t) равномерное криволинейное движение;

6) а_=const, а_n0 криволинейное равнопеременное движение;

7) а_=f(t), а_n0 криволинейное движение с переменным ускорением.