Свойства смешанного произведения

1. От перестановки местами двух векторов смешанное произведение меняет знак:

, , .

2. При круговой перестановке (рис. 3) векторов смешанное произведение не меняется:

Докажем свойства смешанного произведения, используя формулу (4).

3. Признак компланарности векторов.

Теорема 2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Рис. 13.

Доказательство. Векторы – компланарные, т.е. лежат в одной или параллельных плоскостях, тогда и только тогда, когда

(рис. 13). Следовательно, по признаку ортогональности, скалярное произведение

Теорема доказана.

– условие компланарности векторов в координатной форме.

С помощью смешанного произведения можно решать задачи на вычисление объемов многогранников. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах

Рис. 14.

Рис. 15

Объем треугольной призмы, построенной на векторах , как на сторонах (рис. 14)

т.к. площадь треугольника в основании призмы равна половине площади параллелограмма. Объем пирамиды, построенной на векторах , как на сторонах (рис. 15)

Пример 2. Вершины пирамиды находятся в точках , , , . Найти объем пирамиды и высоту, проведенную из вершины D.

Решение. На рис. 15 изображена пирамида АВСD, в основании которой – треугольник АВС. Объем пирамиды определим с помощью смешанного произведения векторов , и . Вычислим предварительно координаты этих векторов