1. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Признак коллинеарности векторов.

Рис. 3.

Рис. 1.

Рис. 2.

Н

Рис. 4.

апомним, что тройку векторов в пространстве можно ориентировать по-разному. Например, тройка является правой. Векторы образуют правую тройку, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора (рис.1). Здесь важен порядок, в котором рассматриваются векторы. Если переставить соседние векторы местами рассмотреть , то получим левую тройку (рис. 2). Если же совершить круговую перестановку векторов (рис. 3), например, , то ориентация не изменится.

Определение 1. Векторным произведением векторов и называется третий вектор (рис. 4), который удовлетворяет условиям:

1) ;

2

Рис. 5.

) и ;

3) тройка векторов – правая.

Геометрический смысл модуля векторного произведения.

По определению векторного произведения

,

где φ – угол между векторами и (рис. 5). С другой стороны площадь параллелограмма со сторонами и равна

.

Таким образом, длина вектора выражается числом, равным площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях и (рис. 5):

Рис. 6.

. (1)

Механический смысл векторного произведения. Если сила приложена к точке Р, то моментом этой силы относительно точки О называется вектор (рис. 6)

,

равный векторному произведению плеча на силу .

Свойства векторного произведения

1) Признак коллинеарности векторов.

Теорема 1. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

.

Д

Рис. 7.

оказательство. Действительно (рис. 7), если векторы и – коллинеарные ( || ), то ( или ). Следовательно,

.

Обратно, если , то , что возможно в одном из трех вариантов: , , . В первых двух случаях, поскольку нулевой вектор имеет произвольное направление, имеем: || . В третьем случае имеем или , что также дает || .

Теорема доказана.

2) (свойство некоммутативности).

Д

Рис. 8.

оказательство (рис. 8). Если векторы и – коллинеарные, то свойство очевидно. Неколлинеарные векторы и имеют одинаковые длины,

,

и противоположные направления. Действительно, векторы и перпендикулярны плоскости векторов и , кроме того, векторы , , образуют правую тройку. Если переставим местами первые два вектора, то получим левую тройку векторов , , . При изменении направления третьего вектора на противоположное изменится ориентация векторов, т.е. , , – правая тройка. Векторы и имеют противоположные направления.

Таким образом, . Свойство доказано.

3) (скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения).

Доказательство. Если векторы и – коллинеарные или , то свойство очевидно. В противном случае имеем: векторы и имеют одинаковые длины

.

Рис. 9.

Кроме того, они перпендикулярны к каждому из векторов и , значит – коллинеарные. При имеют одинаковое направление векторы и , а также векторы и . При векторы и противоположно направлены, угол между ними равен π, поэтому тройка векторов , и – левая (кратчайший поворот между и – по часовой стрелке, на рисунке 9 – вид с конца вектора ). Векторы и также противоположно направлены, поэтому тройка , и – правая. Свойство доказано.

4). Векторное произведение подчиняется дистрибутивному закону:

.

Без доказательства.