3. Скалярное произведение векторов, свойства, механический смысл.
Определение
4.
Скалярным произведением
двух векторов
и
называется число
,
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними, т.е.
.
(7)
Из определения 4 по теореме 1 следует (см. рис. 10)
Рис. 10.
.
(8)
Свойства скалярного произведения.
1)
2)
3)
4)
Доказательство свойств скалярного произведения.
1) Непосредственно из формулы (7) получаем
.
2) Из формулы (8) и по свойствам проекций
.
3) Пусть
> 0, тогда угол между векторами
и
такой же, как и между векторами
и
,
т.е. равен φ, тогда по
определению 4
.
Пусть
< 0, тогда угол между
векторами
и
равен
,
так как направление вектора
отличается на π от направления
вектора
(противоположное к
),
тогда
.
При = 0 свойство очевидно.
4)
.
5) Признак ортогональности векторов
и
(
).
Теорема 2. Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны (перпендикулярны) необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю:
.
Доказательство. Необходимость.
Дано:
,
следовательно, косинус угла φ между
векторами
.
Тогда скалярное произведение
.
Достаточность. Дано:
.
По определению скалярного произведения
.
Из условия теоремы следует, что
следовательно
.
Тогда,
или
,
поэтому векторы
и
ортогональны. Теорема доказана.
Рис.11.
.
Как известно из механики работа А силы
будет равна (рис. 11)
.
В правой части равенства, по определению
4, –скалярное произведение векторов
и
:
.
Таким образом, работа, совершаемая при перемещении материальной точки под действием силы , равна скалярному произведению силы на вектор перемещения.
4. Вычисления в координатах. Основные типы задач.
Найдем формулы вычисления скалярного произведения векторов, если векторы заданы координатами в базисе :
;
.
По свойствам скалярного произведения
.
Найдем скалярные произведения векторов прямоугольного декартового базиса по свойствам 4 и 5 скалярного произведения, учитывая, что они являются попарно ортогональными ортами,
,
.
Тогда, окончательно
,
(9)
то есть скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Используя формулу (9), запишем признак ортогональности векторов в координатной форме
.
Пример. Доказать, что диагонали АС
и ВD четырехугольника с вершинами
,
,
и
взаимно перпендикулярны.
Решение. Найдем координаты векторов
и
(рис. 12), вычитая из координат конца
соответствующие координаты начала
вектора:
Рис.12.
;
.
По признаку ортогональности векторов
,
поэтому вычислим скалярное произведение векторов и по формуле (7) .
,
следовательно, векторы и ортогональны (взаимно перпендикулярны), что и требовалось доказать.
С помощью скалярного произведения можно находить различные геометрические характеристики векторов, т.е. решать следующие задачи.
1. Нахождение модуля вектора. Из свойства 4 скалярного произведения и формулы (9)
.
2. Нахождение косинуса угла между векторами. Из определения скалярного произведения и формулы (9)
.
3. Нахождение проекции вектора на вектор (или вектора на ось, сонаправленную с ним). Из формул (8) и (9)
.
4. Нахождение координат орта. Координатами орта являются направляющие косинусы: = . По формулам (6), учитывая геометрический смысл координат вектора в базисе , имеем
,
.
Из формулы нахождения модуля вектора
в координатах, учитывая, что
,
получаем основное свойство направляющих
косинусов
.