1. Проекция вектора на ось.

Рис. 1.

Под осью понимается прямая линия, на которой задано начало отсчета, масштаб и положительное направление.

Определение 1. Проекцией точки М на ось l называется точка М₁, которая является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М на эту ось (см. рис.1).

Рис.2.

Определение 2. Проекцией вектора на ось l называется число равное длине отрезка АВ этой оси, заключенного между проекциями начала и конца вектора , взятое со знаком «+», если отрезок АВ ориентирован (считая от А к В) в положительную сторону оси l и знаком «-» – в противном случае (см. рис.2).

Обозначение: .

Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и положительным направлением оси (рис. 3):

. (1)

Рис.3. Рис.4.

Доказательство. Из (рис. 3) получаем . Направление отрезка совпадает с положительным направлением оси , поэтому справедливо равенство . В случае противоположной ориентации (рис.4) имеем . Теорема доказана.

Рассмотрим свойства проекций.

Свойство 1. Проекция суммы двух векторов и на ось равна сумме их проекций на ту же ось, то есть .

Рис.5.

Доказательство в случае одного из возможных расположений векторов следует из рисунка 5. Действительно, по определению 2

.

Свойство 1 справедливо для любого конечного числа слагаемых векторов.

Свойство 2. При умножении вектора на число  его проекция умножается на это число

. (2)

Докажем равенство (2). При векторы и образуют с осью один и тот же угол. По теореме 1

При векторы и образуют с осью соответственно углы и . По теореме 1

.

При , получаем очевидное равенство

.

Следствие из свойств 1 и 2. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

. (3)

2. Орт вектора. Прямоугольный декартовый базис.

Направление любого вектора определяется его ортом.

Определение 3. Единичным вектором или ортом вектора называется вектор , который имеет одинаковое направление с вектором и модуль, равный единице.

Очевидным является равенство

= . (4)

Рис. 6.

Рассмотрим три упорядоченных вектора единичной длины (орта) , попарно перпендикулярных и направленных так, что из конца третьего вектора ( ) кратчайший поворот от первого вектора ( ) ко второму вектору ( ) виден против часовой стрелки (рис. 6). Такая ориентация векторов называется правой. В противном случае (когда поворот по часовой стрелке) тройка векторов называется лево ориентированной (тройка – левая). Очевидно, что векторы – не компланарны (вектор перпендикулярен плоскости векторов и ), поэтому они образуют базис в . Этот базис получил название – прямоугольного декартова базиса. Базисом широко пользуются в геометрии и в теории любых прикладных векторных полей. В дальнейшем все преобразования с векторами будут, по умолчанию, производиться в прямоугольном декартовом базисе. На плоскости (в R²) прямоугольный декартовый базис образует пара векторов .

Рис.7.

Координаты вектора в прямоугольном декартовом базисе имеют простой геометрический смысл. Возьмем произвольный вектор и перенесем начала векторов и в общую точку О, которая будет началом отсчета (рис. 7). Построим три оси: , начало отсчета на которых точка О, а направление и масштаб задают векторы и соответственно. Получили прямоугольную декартовую систему координат. На рис. 7 приведено одно из возможных расположений вектора : в первом октанте. Построим параллелепипед, у которого три ребра лежат на осях координат, а диагональю является вектор . Тогда по правилу параллелограмма

,

где – проекция точки А (конца вектора ) на координатную плоскость . Вектор тоже можно разложить на сумму двух векторов по правилу параллелограмма:

.

Тогда разложение вектора по прямоугольному декартову базису примет вид

, (5)

т.е. координатами вектора являются его проекции на соответствующие координатные оси (направления базисных векторов). Обозначим их и соответственно, тогда . Если вектор расположен в другом координатном октанте, то некоторые из его проекций, а, следовательно, и координат, будут отрицательными.

Найдем координаты орта вектора в базисе . Из формул (4) и (5) получаем

Рис.8.

=

Координатами вектора являются коэффициенты при базисных векторах. По теореме 1 отношение проекции вектора на ось к модулю вектора равно косинусу угла между осью и вектором, т. е.

, (6)

где α, β, γ – углы между соответствующими осями координат и вектором (рис. 8), косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Таким образом, координатами орта являются направляющие косинусы

= .

Рис. 9.

Любую точку М в пространстве можно задать ее радиус-вектором (рис. 9), и рассматривать координаты точки, как координаты ее радиус-вектора. Тогда произвольный вектор можно представить как разность радиус-векторов

(рис. 9). Если известны координаты конца и начала вектора (такие же координаты имеют соответственно векторы и ), то по правилам линейных операций над векторами координатами вектора будут

.

Итак, чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала.