18

Тема 1. Матрицы и системы

1. Понятие матрицы

Определение 1. Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений , записанных в виде

.

Здесь, a_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - элементы матрицы, i - номер строки, j - номер столбца. Матрицы обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д., а также или . При m=n матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Квадратная матрица, у которой все элементы с неравными индексами ij равны нулю, называется диагональной:

Если все отличные от нуля элементы диагональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать буквой E.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается θ.

Существуют также матрицы, состоящие из одной строки или из одного столбца.

- матрица строка; - матрица столбец.

Числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (или детерминант).

2. Определители 2-го порядка и 3-го порядка, их свойства.

2.1. Определители 2-го порядка

Определение 2. Определителем второго порядка матрицы (или просто определителем второго порядка) называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством , то есть

. (3)

Другие обозначения: , .

Таким образом, понятие определителя предполагает одновременно и способ его вычисления. Числа называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами , называется главной, а элементами - побочной.

Пример 1. Определитель матрицы равен

.

2.2. Определители 3-го порядка

Определение 2. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

_,

и определяемое равенством

= _. (4)

Числа - элементы определителя. Элементы образуют главную диагональ, элементы - побочную.

При вычислении определителя чтобы запомнить, какие слагаемые в правой части равенства (4) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», пользуются символическим правилом треугольников (правилом Саррюса):

(+) (-)

Со знаком «+» берутся произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; сл знаком «-» – произведения элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.

Вычисление определителя по правилу приписывания столбцов.

1. Приписываем справа от определителя последовательно первый и второй столбцы.

2. Вычисляем произведения трех элементов по диагонали слева - направо, сверху - вниз от а₁₁ до а₁₃ и берем их со знаком «+». Затем вычисляем произведения трех элементов по диагонали слева - направо, снизу вверх от а₃₁ до а₁₃ и берем их со знаком «-».

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Пример 2. Вычислить определитель по правилу приписывания столбцов.

3. Определители n-ого порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).

Рассмотрим понятие определителя n-ного порядка. Определителем n-ного порядка называется число, сопоставляемое матрице n-ного порядка и вычисляемое по определенному закону.

,

здесь - элементы определителя. Чтобы показать правило, по которому раскрывается определитель n-ного порядка, рассмотрим некоторые понятия.

Определение 4. Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n - 1) порядка, полученный вычеркиванием строки и столбца определителя, на пересечении которых расположен этот элемент.

Определение 5. Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя n-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на , то есть .

В определителе третьего порядка можно рассмотреть, например,

, .

, .

Определение 6. Определителем n-ного порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки определителя, умноженных на их алгебраические дополнения.

Это правило вычисления определителя называется разложением по первой строке.

Теорема ( о разложении определителя). Определитель можно вычислить разложением по любой строке или столбцу.

– сумма произведений элементов 1-го столбца на алгебраические дополнения 2-го столбца.

Пример 3. Вычислить определитель четвертого порядка .

Решение. Умножаем третью строку на (-1) и прибавляем ее к четвертой, затем раскладываем определитель по четвертой строке:

.

Определитель третьего порядка разложили по первой строке.