1. Историческое развитие методов моделирования полей

1.1. Метод электрогидродинамической аналогии (метод сплошных сред)

Рассмотрим вопрос развития методов моделирования полей в историческом плане. Это поможет более глубоко понять сущность проблемы и области применимости тех или иных методов.

В качестве первого, наиболее выдающегося примера мышления по аналогии, следует отметить предложенный в 1911 году Павловским метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА), который известен также как метод сплошных сред (рис.7.7 ).

Рис. 7.7 Метод электрогидродинамической аналогии

Идея метода, достаточно наглядно иллюстрируемая рисунком на примере исследования фильтрации воды под плотиной, заключается в следующем. Интенсивность фильтрации воды под плотиной (что может привести к ее осадке и разрушению) зависит прежде всего от разности уровней верхнего и нижнего бьефов, свойств грунта и глубины заложения шпунта (рис.7.7, а). Авторы проектов при расчете плотин, стремясь обезопаситься, как правило, завышают глубину заложения шпунта, что выражается в перерасходе десятков и даже сотен тысяч тонн бетона.

Павловский предложил (рис.7.7,б) в качестве аналога грунта использовать лист станиоля (электропроводной бумаги), форма выреза в котором воспроизводит нижний профиль плотины, а разность потенциалов напряжений – аналог перепада высот и . При этом линии равного потенциала становятся аналогами линий равного давления, от расположения которых зависит уровень фильтрации. Естественно, что в первоначальном виде метод имел некоторые недостатки. Например, для каждого варианта нижнего профиля плотины нужно было иметь отдельный лист электропроводящего материала. Возникали также трудности при моделировании грунтов с неоднородными по плотности слоями.

1.2. Метод электрических сеток

1.2.1. Основа метода электрических сеток

Качественно новый уровень этот метод приобрел в 60 – 70 годы, когда на основе этой идеи и нового технического уровня было создано целое семейство, так называемых, сеточных интеграторов. Метод электрических сеток, основанный на математическом описании полей с помощью уравнений в конечных разностях, позволил значительно расширить круг решаемых задач. С известным приближением модели в виде сплошной среды можно заменить электрической сеткой, состоящей из схем замещения элементарных объемов или площадей (рис.7.8), на которые может быть разделена сплошная среда, например, ранее представленная на рис.7.7.

Рис. 7.8 Схема замещения элементов и плоскопараллельного слоя

1.2.2. Преимущество метода электрических сеток

Важным преимуществом электрических сеток является возможность моделирования трехмерных полей, в том числе описываемых уравнениями с правой частью. Решение такого рода задач даже на достаточно быстродействующих современных цифровых ЭВМ представляет значительные трудности.

1.2.3. Решение задач, описываемых уравнениями с правой частью

Моделирование уравнения Лапласа

На рис.7.9 представлена схема замещения элементарного объема потенциального поля, описываемого уравнением Лапласа

Рис. 7.9 Схема замещения элементарного объема

         (7.15)

где

• – потенциал поля,

• – удельная проводимость.

В декартовых координатах при .

Это уравнение принимает следующий вид

,         (7.16)

Проводимости между противолежащими гранями этого объема определяются по закону Ома следующим образом

        (7.17)

где – удельная проводимость сплошной среды.

Моделирование уравнения Пуассона

Если в узлы электрической сетки включить источники тока в соответствии с некоторой функцией распределения , то такая сетка (рис.7.10) будет моделировать уравнение Пуассона.

Рис. 7.10 Схема замещения элементарного объема со стоком и источником

        (7.18)

 

Моделирование уравнений при включении в узлы сетки стыков

Стоки – резистивные сопротивления

Включение в узлы сетки нагрузочных проводимостей на землю (стыков) открывает возможность моделирования уравнений с другими формами правой части. В зависимости от вида проводимости стока ток через него оказывается пропорциональным напряжению узла сетки относительно земли или его производной по времени, что позволяет задавать граничные условия первого или второго рода.

Если стоки представляют собой резистивные сопротивления (рис.7.10), получаем модель для уравнения вида

        (7.19)

 

Стоки – конденсаторы

Если для той же сетки сделать стоки в виде конденсаторов (рис.7.11), то будет моделироваться уравнение диффузии (или уравнение теплопроводности Фурье)

Рис. 7.11 Схема замещения элементарного объема с емкостным стоком

        (7.20)

 

Стоки – катушка индуктивности

Если заменить резисторную сетку на реактивную катушку индуктивности вместо резисторов, получаем модель для волнового уравнения

        (7.21)

которое может быть применено для моделирования электромагнитных полей, исследования других колебаний и т.п.

Таким образом возможность введения стоков и источников значительно расширяет круг задач, решаемых методом электрических сеток, по сравнении с методом сплошных сред.