6. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Логарифмическая функция комплексного переменного. Методика изучения логарифмической функции.

Лемма 1. Для того чтобы строго монотонная на сегменте функция являлась непрерывной на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы любое число , заключенное между числами и , было значением этой функции.

Логарифмическая функция. Рассмотрим произволь­ный сегмент бесконечной прямой. На этом сегменте функ­ция у = а^х строго монотонна и непрерывна. Поэтому, в силу следствия из леммы 1, функция имеет на сегмен­те , где , обратную функцию , которую мы будем называть логарифмической. Логарифмиче­ская функция обозначается следующим образом:

Меняя для этой функции обозначение аргумента у на x, а обозначение функции х на у, мы получим функцию .

Отметим следующие свойства логарифмической функции, непосредственно вытекающие из ее определения:

1°. Логарифмическая функция определена для всех поло­жительных значений х.

2°. Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей открытой полупрямой при (убывает при , причем при

3°. Для любых положительных

Это свойство также вытекает из свойств показательной функции.

(a>0,a≠1)

 

 Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;  не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;  не ограничена сверху, не ограничена снизу;       

График любой логарифмической функции  проходит через точку (1;0)

Замеч:Следует особо отметить логарифмическую функцию . Для этой функции используется обозначение . Подчеркнем, что логарифмическая функция у = Inх играет важную роль в математике и ее приложениях. Логарифмы по основанию принято называть натуральными.

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции , аналитической в области D, найти ряд , сходящийся к   в круге , принадлежащем области D, то есть

Равенство (1) означает, что   является суммой ряда в круге 

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции  ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к  . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство

Все поставленные вопросы решаются с помощью теоремы Тейлора о разложении функции в степенной ряд.

Теор.Функция, аналитическая в области D, в окрестности каждой точки   этой области представляется в виде степенного ряда (1), радиус сходимостиR которого не меньше, чем расстояние от точки   до границы областиD.

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где γ-произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку , в частности, - окружность или по формуле

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: 

2. Вычислить значения производных в точке  ; записать коэффициенты по формуле (3). Составить ряд по степеням   с этими коэффициентами, который соответствует данной функции 

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (1).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости

Утверждение

1. Функция, аналитическая в точке  , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения   до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (2), (3).

Логарифмическая функция комплексного переменного

Логарифмическая функция определяется как обратная к показательной функции, причем:

Так как показательная функция- периодическая с периодом , то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке она принимает бесконечно много значений. Функция , где - главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак:

Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно при , отличных от нуля верны формулы:

Методика изучения логарифмической функции в школьном курсе математики

Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения a^x =b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают log_a b, т.е. a^logab =b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом   ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:

1. log_a 1=0

2. log_a a=1

3. log_a xy= log_a x+ log_a y

4. log_a x/y= log_a x- log_a y

5. log_a x^p = plog_a x

При доказательстве используется основное логарифмическое тождество:

x=a^logax ; y=a^logay

Изучение темы "Показательная и логарифмическая функции" в ряде учебников, рекомендованных ФГОС начинается в 11 классе.

7. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области. Методика изучения тригонометрических функций в школьном курсе математики.

   Функция синус

Область определения: мн-во R всех действительных чисел. Область значений: отрезок [-1; 1]. Функция нечетная. График функции симметричен относительно начала координат. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π. Промежутки знакопостоянства: sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z; sin x > 0 при x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z; sin x < 0 при x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z. Наиб. значение функции sin x = 1 в точках: Наим. значение функции sin x = −1 в точках: Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: