Методика изучения тел вращения в школьном курсе геометрии.

Введение понятий «цилиндр», «конус», «шар» осуществить абстрактно-дедуктивным методом.

При обучении схематическому изображению тел вращения, наблюдая за их изображениями в учебнике, следует выделять обобщенные приемы построения изображений.

Изучение элементов тел вращения предложить учащимся осуществить самостоятельно, проиллюстрировать знания на моделях и рисунках.

После освоения элементов тел вращения целесообразно провести самостоятельное обдумывание вопросов, касающихся свойств тел вращения. Например, почему основания цилиндра равны?

Почему ось цилиндра параллельна образующим?

Изучение теорем о сечениях цилиндра (конуса, шара) плоскостью осуществляется по известному типовому проекту изучения теорем.

При изучении темы «Сфера» по учебнику Л.С. Атанасяна и др. авторов для организации продуктивного обучения целесообразно использовать аналогию.

Перед введением понятия «сфера» на экране поместить определение окружности. Далее предложить учащимся сформулировать определение сферы.

Также с использованием аналогии вводится понятие уравнения, поверхности, выводится уравнение сферы, изучается взаимное расположение сферы и плоскости.

При изучении площадей поверхностей и объемов тел вращения использовать геометрические идеи предельных переходов от поверхностей или объемов многогранников, вписанных в тела вращения, к поверхностям или объемам тел вращения.

13. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность. Методика изучения правильных многоугольников в основной школе.

Многоугольник – это плоская геометрическая фигура, состоящая из отрезков, пересекающихся в трех или более точках. При этом многоугольник является замкнутой ломаной линией.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом(иливнутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Внешним угломвыпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Многоугольник, точки которого лежат по одну сторону от каждой прямой и проходят через две его соседние вершины, называется выпуклым.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника ее касаются, а многоугольник тогда является описанным около этой окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности, следовательно, многоугольник называется вписанным в окружность.

Площадь многоугольника.

Основные типы многоугольников: треугольник, параллелограмм и его виды (ромб, прямоугольник, квадрат), трапецию, а также правильные многоугольники. У каждого из них своя методика расчета площади. Более сложные, выпуклые и вогнутые многоугольники разбиваются на простые фигуры, площади которых затем суммируются.

Sтреугольника: 1) S=1/2a*h; 2) S=0,5•a •b•Sin(α); (α-уголмеждуaиb); 3) Формула Герона: S= ; p=(a+b+c)/2; 4) для прямоуг-го треуг-ка S=0,5•a•b (a, b – катеты).

S параллелограмма: 1) S=a•h (a-сторона, h– высота опущенная на a); 2) S=0,5•d1•d2•Sin(α) (α – угол между диагоналями); 3) Sромба: S=0,5•d1•d2 (т.к. его диагонали перпендикулярны); 4) S=a•b•Sin(α) (α – угол между aи b). 5) Sпрямоугольника: S=a•b; 6) Sквадрата: S=a².

S трапеции: умножить полусумму ее оснований (параллельных сторон) на высоту S=h•(a+b)/2.

Если четырехугольник можно вписать в окружность, найдите его полупериметр, затем произведение разности полупериметра и каждой из сторон S = .

S правильного многоугольника (с равными сторонами и углами между ними) количество его сторон поделите на 4, умножьте на квадрат длины одной стороны и котангенс 180º поделенных на количество сторон, S=(n/4)•a²•ctg(180º/n).

Более сложные многоугольники разбейте на простые, например, треугольники. Найдите их площади по отдельности и сложите значения.

Определение площади многоугольника.

Пусть каждому многоугольнику Р поставлено в соответствие положительное число S(H)>0 так что при этом выполняются следующие аксиомы:

1) Равным многоугольникам соответствуют равные числа P=Q ⇒S(P)=S(Q)

2) Если многоугольник разбит на 2 многоугольника Р₁ и Р₂ то многоугольнику Р ставится в соответствие число, равное сумме чисел поставленных в соответствие многоугольникам Р=Р₁ + Р₂ ⇒S(P)=S(Р₁) + S(Р₂)

3) Квадрату, сторона которого равна единице длины ставится в соответствие число равное 1.

Тогда число S(P) будем называть площадью многоугольника, а квадрат 3) будем называть единицей площади.

Теорема существования и единственности площади простого многоугольника.

Два многоугольника будем называть равносоставленными, если их можно разрезать на одинаковое число соответственно равных многоугольников

Или

Два многоугольника наз. равносоставленными, если один из них можно разрезать на такие части, из которых, если их сложить другим образом, можно получить второй многоугольник.

 

Т.: Всякий треугольник равносоставлен с параллелограммом (одна сторона параллелограмма равна стороне треугольника и высота параллелограмма равна половине соответствующей и высоты треугольника).

Т.: Всякий треугольник равносоставлен с прямоугольником, основание которого равно одной стороне треугольника, а высота равна половине одной из сторон соответствующей высоты треугольника.

Равновеликости многоугольников

Понятие равновеликости явл обобщением понятия равносоставленности .

Два многоугольника будем называть равновеликими, если каждому из них можно добавить одинаковое число соответственно равных многоугольников так, что получатся равносильные многоугольники.

Два равносоставленных многоугольника явл равновеликими.

Теорема: Два треугольника, имеющие равные основания и равные , соответствующие им высоты, равноелики.

Т.:Параллелограммы с равными основаниями и равными высотами равновелики.

Т.: Если два многоугольника равносоставленны, то они равновеликими.

Т. Бояи – Гервина: Всякие два равновеликих многоугольника явл равносоставленными.

Методика изучения правильных многоугольников в основной школе.

Роль темы «Многоугольники» в обучении обусловлена следующим:

1. Многоугольники и их свойства - основные объекты изучения геометрии;позволяют развить воображение учащихся.

2. Знания, умения и навыки, связанные с данной темой, необходимы для изучения смежных дисциплин и в реальной жизни.

3. Дает основу для использования соответствующего аппарата решения задач и доказательства теорем школьного курса стереометрии и естественным образом способствует развитию логического мышления.

4. Многоугольники являются полигоном для раскрытия материала о декартовых координатах, геометрических преобразованиях, векторах и др.

В систематическом курсе планиметрии материал о многоугольниках можно разбить на 3 основных блока.

1) Учение о треугольниках (7-8 классы) является базовым материалом всей темы, поскольку дальнейшее ее изучение основывается на применении различных свойств треугольников (используются цепочки равных треугольников для доказательства равенства каких либо отрезков, углов при изучении многоугольников). К этому блоку относится:определение треугольника, сопутствующих понятий,равнобедренный треугольник, равенство треуг-ов, аксиома существования треуг-ка, равного данному,зависимость между элементами треуг-ка, подобие треуг-ов, площадь треуг-ка, комбинации треуг-ка с окружностью.

2) Учение о четырехугольниках (8 класс):определение четырехугольника и сопутствующих понятий,

частные виды четырехугольников и их свойства,площади четырехугольников.

3) Учение о многоугольниках (9 класс): общее понятие о многоугольниках,правильные многоугольники и их построение,комбинации правильных многоугольников с окружностью.

В учебнике А.В. Погорелов: сначала треугольники (7 класс), четырехугольники (8 класс), многоугольники (9 класс). Происходит постепенное обобщение материала.

В учебнике Л.С. Атанасяна смешанный подход: треугольники (7 класс), многоугольники (обзор, 8 класс), четырехугольники, правильные многоугольники (9 класс).

Определение многоугольника (и его видов) производится в основном с двух позиций:

а) как одномерного объекта – простая замкнутая ломанная,

б) как двумерного объекта – плоского многоугольника, включающего в себя кроме простого многоугольника его внутреннюю область.

Методические особенности изучениятемы «Четырехугольники»

Схема изучения:Определение четырехугольника и выделение различных их видов; Доказательства существования каждого вида; Свойства и признаки каждого вида; В конце изучения – классификация.

Данный материал в учебнике А.В. Погорелова изучается вперемешку, по учебнику Л.С. Атанасяна сначала рассматриваются свойства, а затем признаки, как обратные теоремы. Свойства параллелограмма обычно вводятся с помощью практической работы вида: начертить ряд параллелограммов, измерить противолежащие стороны и углы. Сделать вывод.

В конце изучения темы целесообразно провести классификацию выпуклых четырехугольников, изучаемых в школе. Данная классификация зависит от того, как определить трапецию. Возможны два подхода:

1. трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (Киселев, Погорелов, Атанасян). Здесь понятия трапеции и параллелограмма – несовместимы (объемы этих понятий не пересекаются)

2. трапеция, есть четырехугольник, у которого две стороны параллельны (Бескин Н.М.). здесь параллелограмм является одним из видов трапеции.

При изучении материала о многоугольниках важное место занимает теорема о сумме углов выпуклого n – угольника.

В действующих школьных учебниках при доказательстве предлагают обычно разбить данный многоугольник на треугольники, соединив диагоналями одну из вершин (фиксированную) со всеми остальными вершинами.

Учитель может предложит другой способ разбиения n – угольника на треугольники , взяв точку О внутри многоугольника и соединив ее со всеми вершинами многоугольника.