8. Преобразования подобия плоскости. Группа преобразований и ее подгруппы. Основные вопросы методики изучения преобразования фигур.

Опр. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если  k > 0, что для любых двух точек А и B и их образов A` и B` выполняется равенствоA`B`=kAB. k-коэф-т подобия.

При k =1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Значит, движение – частный случай подобия.

Опр.Преобразование плоскости называется гомотетией, если существует некоторое число m 1, что для любых трех точек плоскости М, М ,M` выполняется условие  .

Точка М - центр гомотетии, число m – коэффициент гомотетии. Если m > 0 – гомотетия положительна, если m < 0 – гомотетия отрицательна.

Теорема 16.3. Гомотетия есть подобие.

Доказательство:

1. Рассмотрим гомотетию  с центром и коэффициентом m: ,  .

2. По определению гомотетии имеем: 

3. Вычтем из первого равенства второе:  , . Значит, гомотетия  есть подобие, где коэффициент гомотетии равен коэффициенту подобия .

• Если m = 1, то гомотетия есть тождественное преобразование.

• Если m =-1, то гомотетия есть центральная симметрия с центром в точке М .

• Если |m|  1, то гомотетия есть преобразование подобия, отличное от движения, т.е. преобразование, не сохраняющее расстояний.

Если точка М (x, у) при гомотетии  переходит в точку M`(x`,y`), то: - аналитические выражения гомотетии.

Свойства гомотетии

1. Гомотетия с коэффициентом, отличным от 1, переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, ей параллельную; прямую, проходящую через центр – в себя.

2. Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

3. Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

4. Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Т.Пусть f – преобразование подобия с коэффициентом k > 0, а h – гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М . Тогда существует единственное движение g такое, что f = g∙h.

Док=во:

1. Рассмотрим некоторое движение g, представимое как g = f h  (*), где  .

Рассмотрим композицию движения  и гомотетии (помножим обе части равенства (*) на гомотетию ): илиg∙h = f (**)

2. Покажем, что движение  единственно:

• Пусть существует движение g , такое, что  . Тогда g =f h . Но  . Значит,g = g.

Гомотетия обладает всеми свойствами движений, подобие также обладает всеми свойствами движений.

Так как гомотетия сохраняет ориентацию, а подобие есть произведение движения на гомотетию, т.е. движение имеет одну ориентацию с гомотетией, то подобие также имеет эту ориентацию. В этом случае говорят о подобии 1-го рода.

Если движение имеет ориентацию, противоположную гомотетии, то в этом случае подобие имеет противоположную ориентацию и является подобием 2-го рода.

Аналитические выражения подобия

Так как гомотетия  задается выражениями  , движение  задается выражениями , то координаты образа точки в преобразовании подобия вычисляются по формулам:

• Если ε = 1, то подобие первого рода;

• Если ε = -1, то подобие второго рода.

Т.Любое преобразование подобия имеет только одну неподвижную точку в том случае, если оно отлично от движения.

Классификация подобия

Подобие первого рода.

1. Подобие имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет неподвижных точек. Это подобие является движением (в частности параллельным переносом).

2. Подобие  имеет одну неподвижную точку.

• Так как f, h есть преобразования первого рода; g – тождественное преобразование, то подобие совпадает с гомотетией.

• Пусть g – центральная симметрия. Тогда подобие  есть центрально подобное вращение на угол .

• Пусть g – поворот вокруг точки М . Тогда подобие есть поворот с центром в точке М

Подобие второго рода.

• Подобие имеет более чем одну неподвижную точку или не имеет вообще неподвижных точек. Подобие является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

• Подобие имеет одну неподвижную точку O, k  1. Подобие f называется центрально подобной симметрией.

Следствие. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.

Группа подобия и ее подгруппы.

Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».

Множество Р является группой относительно этой операции.

Действительно:

• Если f , f   P , то f  ∙ f   P ;

• Если f P , то f P.

• Основным инвариантом группы является мера угла.

Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.

Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.

Основные вопросы методики изучения преобразования фигур в основной школе.

Учащиеся знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах (географические карты) Основная цель изучения преобразования подобия – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников.

А.В.Погорелов – 9 класс тема «Подобие фигур» (17ч) Л.С.Атанасян – 8 класс тема «Подобные треугольники» (19ч) И.Ф.Шарыгин – 8 класс тема «Подобие» (20ч)

По А.В. Погорелову на изучение подобия фигур отводится 17 часов. Изучается в 9 классах до изучения тем площади. Подобие фигур разделено на 9 тем. В конце главы вводится углы, вписанные в окружность и пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. В начале дается понятие гомотетии и подобии фигур. Затем рассматривается подобие треугольников, признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников.

Определение (А.В. Погорелов). Преобразование фигур F называется преобразованием подобия если при этом преобразование расстояния между точками изменяется в одно и то же число раз, то есть для любых двух точек X и Y фигуры F и точки X’ и Y’ фигуры F’, в которые они переходят, XY=кXY’.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:все их соответственные углы равны (достаточно равенство двух углов);все их стороны пропорциональны;две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Два прямоугольных треугольника подобны, если:их катеты пропорциональны;катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;два угла треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

По Л.С. Атанасяну в главе 7 подобные треугольники отводится 19 часов. Основное внимание в главе уделено подобным треугольникам. Изучается в 8 классах после глав четырехугольники и площади.

Определение подобных треугольников дается на основе теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, весьма просто доказываются признаки подобия треугольников. Они широко используются в курсе геометрии. Кроме того, материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В конце главы вводится синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

При изучении данной темы нужно иметь в виду, что свойства подобных фигур будут многократно применяться при дальнейшем изучении курса геометрии. Поэтому следует уделить значительное внимание и время решению задач, направленных на формирование умений доказывать подобие треугольников с использованием признаков и вычислять элементы подобных треугольников.

При изучении признаков подобия достаточно доказать два признака, так как первый доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, а доказательства двух других аналогичны. Применение метода подобия треугольников к доказательствам теорем учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии треугольника. С учащимися интересующимися математикой можно рассмотреть задачи на построение методом подобия.

После изучения подобных треугольников рассматривается вопрос о подобии произвольных фигур на интуитивной основе.

В курсе стереометрии в начале 11 класса 9 в параграфе «Преобразование подобия» (не обязательный пункт для изучения на базовом уровне) дается следующее определение (Л.С. Атанасян): Преобразования подобия с коэффициентом к >0 называется отображение пространства на себя. При котором любые точки А и В переходят в такие точки А₁, В₁, что А₁=кВ₁.

Два тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое.

Таким образом, мы рассмотрели два способа изучения подобия треугольников: можно рассмотреть подобные треугольники как частные случаи подобных фигур (А.В.Погорелов) или можно определить подобные треугольники как треугольники, имеющие соответственно пропорциональные стороны и соответственно равные углы (Л.С.Атанасян).