Задания для самоконтроля

1) Бросается один раз игральная кость. Определите вероятность выпадения 3 или 5 очков.

2) В урне 3 белых и 3 чёрных шара. Из неё дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечён чёрный шар.

3) Монета подброшена 2 раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет «герб».

4) 8 различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определённые книги окажутся поставленными рядом.

5) Имеется 12 лотерейных билетов. Из них 7 – выигрышные. Наудачу берут 6 билетов. Какова вероятность того, что 4 из них – выигрышные?

6) На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются 2 карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на этих карточках, равна 10?

7) Имеются цифры 1,2,3,4,5,6,7, написанные на карточках, которые тщательно перемешиваются. Человек наудачу называет трёхзначное число с разными цифрами, начинающееся с «2», а затем произвольно вынимает три карточки и раскладывает их в порядке следования. Какова вероятность того, что он получит названное им число?

Ответы: 1) ; 2) 0,6; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Формула полной вероятности

Пусть имеется урн с разным количеством белых и чёрных шаров. Кто-то наудачу выбирает урну, а затем уже из неё наудачу один шар. Какова вероятность того, что выбранный шар окажется белым?

Событие - выбранному шару оказаться белым происходит совместно с событием «выбор урны».

Событие - искомое, события («выбор -ой урны, где ) – события-гипотезы. Они попарно несовместны. Для поиска вероятности события руководствуются следующей теоремой.

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий -гипотез , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий-гипотез на соответствующую условную вероятность события , т.е.

(*)

Формула (*) называется формулой полной вероятности события .

Рассмотрим примеры применения данной теоремы.

1) Имеются три одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй – 7 белых и 3 чёрных и в третьей – только чёрные. Наудачу выбирается урна и из неё наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что будет выбран: а)чёрный; б) белый шар?

Решение.

а) Пусть - событие «из урны вынули чёрный шар».

- гипотеза «выбрали первую урну»;

- гипотеза «выбрали вторую урну»;

- гипотеза «выбрали третью урну».

Поскольку , , - равновероятные и образуют полную группу, то .

Тогда - вероятность того, что из первой урны достанут чёрный шар.

- вероятность того, что из второй урны достанут чёрный шар. - вероятность того, что из третьей урны достанут чёрный шар.

Значит, .

- вероятность того, что из наудачу выбранной урны наудачу возьмут чёрный шар.

б) Пусть - событие «из урны вынули белый шар».

- гипотеза «выбрали первую урну»;

- гипотеза «выбрали вторую урну»;

- гипотеза «выбрали третью урну».

.

Тогда - вероятность того, что из первой урны наудачу достанут белый шар.

- вероятность того, что из второй урны наудачу достанут белый шар. - вероятность того, что из третьей урны наудачу достанут белый шар.

Значит, , т.е.

- вероятность того, что из наудачу выбранной урны наудачу возьмут белый шар.

Ответ: а) б) .

2) В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Содержимое ящиков разместили в шкафу. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая из шкафа деталь– стандартная.

Решение.

Пусть - событие «наудачу извлечённая из шкафа деталь – стандартная».

- гипотеза «деталь принадлежит первому ящику»;

- гипотеза «деталь принадлежит второму ящику»;

- гипотеза «деталь принадлежит третьему ящику».

Ящики содержат разное количество деталей, поэтому события , , - не равновероятные.

Общее количество деталей в трёх ящиках – 20+30+10=60. Тогда - вероятность того, что извлечённая деталь принадлежит первому ящику.

Аналогично, , .

Найдём условные вероятности события по предложенным гипотезам.

- вероятность того, что извлечённая из первого ящика деталь - стандартная.

и .

Значит, , т.е.

.

Ответ: 0,75.

3) Студент пришёл на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что студент знает наудачу взятый билет?

Решение.

Пусть - событие «студент знает наудачу взятый билет экзамена».

- гипотеза «перед студентом взяли выученный им билет»;

- гипотеза «перед студентом взяли невыученный им билет».

, . Тогда

- вероятность того, что студенту попадётся «хороший» билет, после того как до него взяли «хороший» (выученный) билет.

- вероятность того, что студенту попадётся «хороший» билет, после того как до него взяли «плохой» (невыученный) билет.

Значит,

, т.е. .

Ответ: .