Необходимые теоретические сведения

Существуют разные виды дифференциальных уравнений, для каждого из которых применяется свой метод решения.

Прежде, чем решать дифференциальное уравнение, необходимо выяснить, к какому виду оно относится. Рассмотрим решение двух видов дифференциальных уравнений 1-го порядка, а именно уравнений с разделяющимися переменными и линейных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 1. Уравнение вида (или которое можно привести к виду) , (1)

где - непрерывные функции от аргументов , соответственно, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В таком уравнении переменные можно отделить друг от друга.

Поскольку , тогда (1) примет вид .

Умножим обе части полученного равенства на . Получим уравнение

(2)

(2) – дифференциальная форма уравнения (1).

Разделим (2) на , полагая, что . Тогда

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

.

Выполняя интегрирование, найдём решение исходного уравнения (его общий интеграл).

Замечание. Если то решение уравнения теряется при делении уравнения (2) на . В дальнейшем решения вида , где , мы рассматривать не будем.

Примеры. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

а) .

Решение.

Данное уравнение можно записать иначе, как: ,

т.е. это уравнение вида (1), где . Тогда

.

Преобразуем полученное равенство так, чтобы дифференциал и функция переменной были в левой части уравнения, а переменной - в правой. Для этого умножим обе части уравнения на , а затем разделим на , где для любого .

,

.

Поскольку - произвольная постоянная, тогда произведение числа на также будет являться произвольной постоянной, которую можно обозначить, например, как ,т.е. . Тогда общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

.

Ответ: .

б) .

Решение.

Приведём уравнение к виду (1):

,

, тогда

.

Отделим переменные друг от друга аналогично тому, как мы это выполнили в примере а):

,

,

,

,

,отсюда

.

Поскольку (произвольное число), тогда , обозначим эти числа символом . Тогда

- общий интеграл данного уравнения .

Ответ: .

Уравнение с разделяющимися переменными может также иметь вид

, (2)

где - некоторые непрерывные функции переменной , причём , - некоторые непрерывные функции переменной , причём . В таком уравнении переменные разделяются путём деления его на :

Тогда -

- общий интеграл уравнения (2).

Примеры. Решить уравнения.

a) .

Решение.

Данное уравнение равносильно уравнению

.

Получили уравнение вида (2), где

. Разделим его на .

,

проинтегрируем полученное равенство:

.

Заметим, что

. Тогда

,

- общий интеграл данного уравнения. Здесь .

Ответ: .

Замечание. Условимся, что в дальнейшем при вычислении интегралов в левой части уравнения константы писать не будем, полагая, что они будут учтены в правой части уравнения.

б) ,

,

,

Значит,

,

,

,

.

Пусть ,

тогда - общий интеграл уравнения.

Ответ: .

Перейдём к рассмотрению следующего вида дифференциальных уравнений.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое линейно относительно функции и её производной, т.е. имеет вид

, (3)

где - непрерывные функции от , причём

Если , то (3) – линейное однородное уравнение 1-го порядка, оно одновременно является и уравнением с разделяющимися переменными.

Если , то (3) - линейное неоднородное уравнение 1-го порядка.

Решение уравнения (3) ищется в виде (или коротко ) следующим образом.

Пусть , . Значит, уравнение (3) примет вид

,

.

Подберём так, чтобы . Получим два уравнения.

а ;

- это однородное уравнение,

б - частное решение уравнения а . Тогда

найдём его частное ненулевое решение (полагаем С=0).

,

,

,

,

- частное решение

- уравнение с

разделяющимися переменными;

;

;

- общее решение уравнения б .

у равнения а .

Т огда - общее решение уравнения (3), где - решения уравнений б и а соответственно.

Примеры. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1) .

Решение.

Данное уравнение является линейным, так как оно имеет вид , где , , .

, тогда . Имеем

,

,

а ,

,

,

,

,

,

,

- частное

решение уравнения а .

б ,

, где ,

,

,

,

.

,

- общее решение

уравнения б .

Так как , тогда ,т.е. - общее решение данного уравнения.

Ответ: .

2) .

Решение.

- линейное уравнение, так как оно имеет вид , где , .

Пусть . Тогда

,

,

а ,

,

,

б ;

;

;

.

,

,

,

- частное решение

у равнения а .

Заметим, что .

Тогда , т.е. - искомое решение данного уравнения.

Ответ: .

3) .

Решение.

Данное уравнение является линейным, так как оно имеет вид , где , , .

Пусть . Тогда уравнение примет вид

,

,

а ,

,

,

,

,

,

,

- частное

р ешение уравнения а .

б ,

,

,

,

,

,

,

Поскольку , значит, - общее решение данного уравнения.

Ответ: .

4) .

Решение.

Запишем данное уравнение иначе, как . Таким образом, мы имеем линейное уравнение, где , , .

Пусть . Тогда ,

,

а ,

,

,

,

,

- частное

р ешение уравнения а .

б ,

,

.

{Полученный интеграл вычислим с помощью метода интегрирования по частям: .

=

= .

Итак, , т.е.

- общее решение уравнения.

Ответ: .

5) .

Решение.

В области, где , данное уравнение равносильно уравнению , т.е. . Полученное уравнение является линейным, при этом , , .

Пусть , тогда ,

,

а ,

,

,

,

,

,

,

-частное

решение уравнения а .

б

,

,

,

,

.

Итак, , - общее решение данного уравнения.

Ответ: .

Замечание. В уравнении (5) является также его решением, т.к. (5) можно записать в дифференциальной форме: . Если , то . И при подстановке в дифференциальную форму вместо и нуля получаем верное равенство , 0=0. Решение _{не входит в состав общего решения, в дальнейшем мы такие решения рассматривать не будем.}

Дифференциальные уравнения имеют геометрические, физические и др. применения. Рассмотрим некоторые из них.

Задача 1. Найти кривую, проходящую через точку А(0;1) и обладающую тем свойством, что в каждой её точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точке касания.

Решение.

у

Пусть - искомая кривая, М(х;у) – произвольная точка кривой, угол, образо-ванный касательной МТ с положительным направлением оси Ох, и - угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой .

Согласно геометрическому смыслу производной , а так как по условию задачи , тогда получаем дифференциальное уравнение .

х

0

х

М

А

у

Т

1

х

рис.1

Поскольку искомая кривая проходит через точку А(0;1), то у(0)=1.

Получаем систему условий:

Рассмотрим уравнение (1):

,

- общее решение уравнения (1).

Найдём частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2).

Значит, - искомая кривая.

Ответ: .

Задача 2. Скорость размножения бактерий в питательной среде пропорциональна их наличному количеству. Найти закон ( ) размножения бактерий, предполагая, что в биологическую среду было помещено 500 бактерий, и через 4 ч их число увеличилось в 3 раза.

Решение.

Пусть - количество бактерий в момент времени . Тогда скорость размножения бактерий в момент времени есть производная данной функции по времени, т.е. и по условию задачи , где - коэффициент пропорциональности. Вместе с тем, - число бактерий в начальный момент времени, т. е. при .

Имеем систему

Таким образом, нам необходимо решить задачу об отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2).

Решим уравнение (1): ;

;

;

;

;

, т.е. .

Значит, - общее решение уравнения (1). Найдём частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2):

, т.е. и .

Для того чтобы найти , воспользуемся условием задачи - через 4 ч число бактерий увеличилось в 3 раза. Получаем , т.е.

;

;

;

.

Следовательно, - искомый закон размножения бактерий.

Ответ: .