Задания для самоконтроля

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

а) в прямоугольнике, ограниченном прямыми ;

б) в круге ;

в) в замкнутой области, ограниченной прямыми ;

г) в квадрате .

Ответы: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Помимо безусловных локальных экстремумов и глобальных экстремумов функций существуют и условные локальные экстремумы. Итак, рассмотрим следующее задание.

Задание 3. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

Необходимые теоретические сведения

Пусть дана функция , при этом аргументы и удовлетворяют условию . Уравнение называется уравнением связи переменных и .

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции при условии , если существует такая окрестность этой точки, что во всех точках из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Т

x

y

0

аким образом, условный экстремум – это обычный экстремум функции, достигнутый при условии, что её аргументы связаны уравнением .

z

На рис.7 - точка (безусловного) минимума для функции .

- точка условного минимума для функции при условии .

у

рис.1

рис.7

Для нахождения точек условного экстремума удобно пользоваться следующим методом.

Метод множителей Лагранжа

Пусть дана функция , при этом аргументы и удовлетворяют условию .

Составим функцию Лагранжа , где - неопре-

делённый постоянный множитель.

Отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа.

Составим систему (необходимые условия экстремума функции Лагранжа):

Точка , удовлетворяющая этой системе, является критической точкой функции Лагранжа.

Отсюда - критическая точка функции при условии .

В дальнейшем решается вопрос о существовании и характере экстремума в этой точке.

Примеры. Найти условный экстремум функции.

а) при условии .

Решение.

1.

2. .

3.

Таким образом, - критические точки функции при условии .

4. а) Воспользуемся достаточными условиями экстремума функции двух переменных.

, значит, - точка условного минимума.

б)

, значит, - точка условного максимума функции при условии .

Ответ: - точка условного минимума, - точка условного максимума.

б) при условии

Решение.

1.

2.

Значит, (2;-2) – критическая точка функции при условии

3. .

, т.е. (2;-2) не является точкой экстремума для функции , однако, для функции вопрос остаётся открытым. Разрешить его можно следующими способами.

1сп. Из уравнения связи следует - уравнение параболы, ветви которой направлены вверх и (-2;-4) – координаты её вершины в плоскости Oyz.

Значит, y=-2 - точка минимума функции , тогда точка (2;-2) – точка условного минимума функции при условии

2 сп. Если из уравнения связи сложно выразить одну переменную через другую, то рассматривают дифференциал второго порядка функции :

, где - критическая точка функции. Находят знак этого дифференциала при условии . Тогда, если , то - точка условного минимума, а если , то - точка условного максимума.

Итак, в данной задаче .

.

Значит, .

Составим равенство .

Имеем , т.е. .

Рассмотрим .

. Тогда

Следовательно, - точка условного минимума.

Ответ: - точка условного минимума.