Задания для самоконтроля
Исследовать на экстремум функции:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Ответы: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Итак, мы рассмотрели способы поиска безусловных локальных экстремумов функций, т.е. наибольших и наименьших значений функций, принимаемых ими в окрестностях отдельных точек из области определения функций. А теперь перейдём к рассмотрению вопроса о поиске глобальных экстремумов функций, т.е. наибольших и наименьших значений функций, принимаемых ими на области определения.
Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
Необходимые теоретические сведения
Под замкнутой областью будем понимать множество, содержащее свои граничные точки, т.е. точки, любые окрестности которых содержат как точки, принадлежащие этому множеству, так и точки, не принадлежащие ему.
Наибольшее и наименьшее значения функции в некоторой замкнутой ограниченной области достигаются либо в точках экстремума, лежащих внутри области, либо в точках, лежащих на границе области.
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутой области
1. Построить замкнутую область и определить её границу.
2. Найти критические точки функции внутри замкнутой области и вычислить значения функции в них.
3. Найти критические точки функции на границе замкнутой области и вычислить значения функции в них.
4. Найти значения функции в точках пересечения участков границы области (или на концах отрезков на границе области).
5. Выбрать из найденных значений функции наибольшее и наименьшее.
Примеры.
,
область – треугольник, ограниченный
прямыми
.
Решение.
1. Построим замкнутую область и выделим её границу.
Область D
– заштрихо-
ванный треугольник.
Граница замкнутой
облас-
ти D:
а)
б)
в)
;
;
.
рис.3
2. Найдём критические точки функции внутри замкнутой области и вычислим значения функции в них.
- критическая
(стационарная) точка функции, однако
,
т.е. внутри области
нет критических точек.
3. Найдём критические точки функции на границе замкнутой области и вычислим значения функции в них.
а)
,
тогда
,
.
,
.
Значит, на указанном участке границы функция не имеет критических точек.
б)
,
тогда
.
.
Значит,
- критическая (стационарная) точка
функции
;
.
в)
,
тогда
,
.
Значит,
- критическая (стационарная) точка
функции
где
;
=
.
4. Найдём значения
функции
в точках
.
.
Таким образом,
.
Ответ:
.
область – круг
.
Решение.
1
Область D
– круг.
Граница области
D
– окружность
Она представима
в виде двух дуг
,
т.е.
.
.
5
-5
рис.4
2. Найдём критические точки функции внутри замкнутой области и вычислим значения функции в них.
Рассмотрим
систему
,
значит, внутри замкнутой области функция
не имеет критических точек.
3. Найдём критические точки функции на границе замкнутой области и
вычислим значения функции в них.
Граница области
(окружность) представима в виде двух
дуг:
.
а)
,
тогда
.
не существует при
,
а т.к.
не являются внутренними точками отрезка
,
то они не являются критическими точками
функции
на
отрезке
.
,
;
- критическая
(стационарная) точка функции
где
;
.
б)
,
тогда
.
Аналогично,
не являются критическими точками
функции
на отрезке
.
- критическая
(стационарная) точка функции
где
;
Заметим, что
,
где
- значение функции
в точке
.
4. Найдём значения
функции
в точках (-5;0) и (5;0).
Значит,
Ответ:
.
Решение.
1
Граница области
D
– окружность
.
Это каноническое уравнение окружности.
рис.5
{Справка:
- каноническое уравнение окружности с
центром в точке (
радиуса
.
Указанную окружность можно описать и
параметрическими уравнениями вида:
}
Таким образом, параметрические уравнения данной окружности имеют вид:
2. Найдём критические точки функции внутри области и вычислим значения функции в них.
критическая
точка функции.
Однако,
,
т.е. внутри области
функция не имеет критических точек.
3. Найдём критические точки функции на границе области и вычислим значения функции в них.
рис.6
Поскольку
,
то
- критические точки функции на границе
области.
4. Найдём значения
функции на концах отрезка
на границе области.
Значит,
Ответ: