Алгоритм исследования функции на экстремум
1. Найти область
определения
функции
.
2. Найти критические точки функции .
3. Исследовать стационарные точки функции с помощью достаточных условий экстремума, а критические точки, не являющиеся стационарными, - руководствуясь общим подходом (см. с. 6).
4. Найти экстремумы функции, если таковые имеются.
Примеры. Исследовать на экстремум функции
а)
.
Решение.
1.
,
т. е.
- множество всех точек координатной
плоскости ХОУ.
2.
.
,
существуют при всех
.
Найдём стационарные
точки функции, для этого составим и
решим систему
Имеем
- внутренняя точка
,
значит, она является стационарной для
данной функции. Выясним, руководствуясь
достаточными условиями экстремума,
имеет ли функция в ней экстремум.
3.
Поскольку
- константы, то они непрерывны в любой
точке из
.
При этом
=0,
и
т.е.
<0,
значит, в
точке
функция не имеет экстремума.
Ответ: экстремума нет.
Замечание 3. В дальнейшем непрерывность частных производных второго порядка обосновывать не будем, поскольку в предлагаемых к рассмотрению функциях она, заведомо, имеет место.
б)
.
Решение.
1. .
2.
, существуют при всех .
Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему
Имеем
Значит, (0;0) – стационарная точка данной
функции.
3.
тогда
и
Значит, требуется дополнительное
исследование.
Поскольку
и для всех точек (x;y)
(0;0)
выполняется неравенство
,
то (0;0) – точка минимума данной функции.
4.
- минимум функции.
Ответ: .
в)
.
Решение.
1
у
ХОУ, включая ось
ОХ.
,
т.е.
- верхняя полуплоскость плоскости
1
-1
0
х
2.
, существуют при всех .
Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему
Имеем
Получили точки (1;0) и (-1;0). Они лежат на границе области определения, следовательно, не являются критическими, а значит, данная функция не имеет экстремумов.
Ответ: экстремума нет.
г)
.
Решение.
1. .
2.
, существуют при всех .
Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему
Имеем
Данная система равносильна следующей совокупности систем
или
или
или
Значит, (0;0), (1;0), (0;1), (1/3;1/3) – стационарные точки функции. Выясним, являются ли они точками экстремума для данной функции.
3.
Значит, в точке (0;0) функция не имеет экстремума.
Значит, в точке (1;0) функция не имеет экстремума.
Значит, в точке (0;1) функция не имеет экстремума.
Значит, в точке
(1/3;1/3) функция имеет экстремум, причём
(1/3;1/3) – точка максимума, т.к.
.
4.
Ответ:
е)
.
Решение.
1. .
2.
;
.
и
не существуют при
и
соответственно.
Значит,
- критическая точка функции, т.к. она
лежит внутри
,
и в ней частные производные первого
порядка не существуют.
при всех
,
значит, функция не имеет стационарных
точек, и теорема о достаточных условиях
экстремума не выполняется.
Выясним, руководствуясь общим подходом, является ли точка точкой экстремума данной функции.
3.
.
Исследуем знак
разности
вблизи
точки
,
где
- произвольная точка из
.
.
Имеем
для всех точек
.
Значит,
- точка максимума.
4.
Ответ:
