Свойства функции Лапласа
1.
;
2.
(
практически можно считать, что уже при
.
Так при
).
3. Функция Лапласа
– нечётная, т.е.
для всех
.
4. Функция Лапласа монотонно возрастающая.
Таблица значений
функции Лапласа для
представлена в Приложении.
Рассмотрим примеры решения задач с применением нормально распределённых случайных величин.
1. Написать
дифференциальную функцию нормально
распределённой случайной величины
,
зная, что
,
.
Решение.
Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид .
По условию задачи
,
,
тогда
и
.
Ответ: .
2. Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение нормально распределённой
случайной величины
соответственно равны 20 и 5. Найти
вероятность того, что в результате
испытания
примет значение, заключённое в интервале
.
Решение.
По условию задачи
имеем
,
.
По теореме(*) имеем
.
(см. Приложение).
Значит,
.
Ответ:0,6826.
3. Результаты
измерения расстояния между двумя
населёнными пунктами подчинены
нормальному закону с параметрами
км,
м.
Найти вероятность того, что расстояние
между этими пунктами: а) не менее 15,8 км;
б) не более 16,25 км; в) от 15,75 до 16,3 км.
Решение.
Пусть - случайная величина, описывающая расстояние между двумя пунктами.
а) Слова «не менее» означают «больше или равно», тогда
=
=
;
б) Слова «не более» означают «меньше или равно», тогда
;
в)
.
Ответ: а)0,9772; б) 0,9938; в) 0,9925.
4. Деталь,
изготовленная автоматом, считается
годной, если отклонение её контролируемого
размера от проектного не превышает 10
мм. Случайные отклонения контролируемого
размера от проектного подчинены
нормальному закону со средним
квадратическим отклонением
мм
и математическим ожиданием
.
Сколько процентов годных деталей
изготовляет автомат?
Решение.
Пусть - случайная величина, описывающая размер изготовленной детали. Так как указано отклонение от , то воспользуемся следствием1 теоремы(*).
.
Таким образом, автомат изготовляет
примерно 95% годных деталей.
Ответ: 95%.
5. Случайная
величина
распределена нормально с математическим
ожиданием
и средним квадратическим отклонением
.
Найти интервал, в который с вероятностью
0,9973 попадёт
в результате испытания.
Решение.
1 способ. Воспользуемся следствием 2 теоремы(*): , тогда
,
,
.
Значит,
- искомый интервал.
2 способ.
Воспользуемся следствием 1 теоремы(*):
,
тогда
.
По таблице значений функции Лапласа
(см. Приложение) находим
.
Значит,
,
,
,
.
Ответ: .
Задания для самоконтроля
1. Пусть вес
пойманной рыбы подчиняется нормальному
закону распределения с параметрами
г,
г.
Найти вероятность того, что вес пойманной
рыбы будет от 300 до 425 г.
2. Случайная
величина
подчинена нормальному закону распределения
с параметрами
.
Найдите интервал
,
в котором эта случайная величина
принимает свои возможные значения с
вероятностью 0,61, если известно, что
.
3. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием 10. Найти среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, при котором с вероятностью 0,8 её отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 0,2.
4. Станок-автомат изготавливает валики, причём контролируется их диаметр . Считая, что - нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 10 мм и средним квадратическим отклонением
2 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9854 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
Ответы: 1) 0,9759; 2) (-1,72;1,72); 3)0,156; 4) (5,12;14,88).