Задания для самоконтроля
1. Имеются две урны, одна из которых содержит 2 чёрных и 3 белых шара, а другая – 2 чёрных и 1 белый шар. Наугад выбирается урна, а потом из неё извлекается шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар?
2. В одной студенческой группе 24 студента, во второй – 36, а в третьей – 40. По математике получили «5» 6 человек первой группы, 6 человек второй группы и 4 человека третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим «5» по математике. Какова вероятность того, что он учится в третьей группе?
3. В ящике 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2, 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества, равна 0,9; для деталей заводов №2 и №3 эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.
4. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найдите вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
Ответы: 1)
;
2)
;
3) 0,78; 4) 0,9.
Случайные величины
Определение 1. Случайная величина – это переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных.
Примеры.
1) Число родившихся мальчиков из 100 новорождённых – случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.
2) Расстояние,
которое пролетает снаряд при выстреле
из орудия – случайная величина (зависит
от ряда причин, которые не могут быть
полностью учтены, например, установка
прицела, сила ветра и т.д.), возможные
значения этой величины принадлежат
некоторому промежутку
.
Между случайными величинами и случайными событиями существует взаимосвязь: принятие случайной величиной одного из возможных значений - это случайное событие.
О
бозначение
случайных величин – X,
Y,
Z,
… ( заглавные буквы конца латинского
алфавита), а их возможных значений: x,
y,
z,…
Например, случайная
величина Y
принимает 4 возможных значения
.
Виды случайных величин
Дискретные
Непрерывные
Смешанные
на отдельных участках своей области
определе-ния могут быть непрерывными,
а на отдельных - дискретными
принимают отделён-ные друг от друга
значения, число которых может быть
конечным или бесконечным
непрерывно заполняют рассматриваемый
промежу-ток, при этом число их значений
бесконечно
Так, в примере 1 описана дискретная случайная величина, т. к. её значения 0,1,…,100 отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений случайной величины, а в примере 2 речь идёт о непрерывной случайной величине, т.к. здесь случайная величина может принимать любое значение из интервала .
Определение 2. Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения полностью задаёт случайную величину, если же он неизвестен, то её изучают по её числовым характеристикам.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде таблицы, аналитически (с помощью формулы), а также с помощью интегральной функции распределения. Ознакомиться с этими представлениями можно в учебной литературе (1), (3), (4), (5).
Рассмотрим непрерывные случайные величины.
Обозначим за X непрерывную случайную величину с возможными значениями из некоторого интервала , а за - текущую переменную, принимающую действительные значения.
Определение 3.
Функция
называется интегральной
функцией распределения вероятностей
случайной величины
.
Под обозначением
понимается
вероятность события «случайная величина
приняла значение, меньшее
».
Заметим, что
интегральная функция даёт общий способ
задания как дискретных, так и непрерывных
случайных величин. При этом если
- дискретная случайная величина, то
,
т.е. значение функции
в точке
равно сумме вероятностей событий
«случайная величина
приняла значение
,
где
».
Для непрерывной случайной величины с возможными значениями из интервала выполняются следующие свойства:
1)
,
,
т.е. вероятность того, что
примет значение
(
)
равна нулю.
2) Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, отрезок и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы и равны приращению интегральной функции на этом промежутке, т.е.
.
Определение 4.
Дифференциальной
функцией распределения вероятностей
(плотностью распределения вероятностей)
непрерывной случайной величины Х
называют функцию
,
равную первой производной интегральной
функции:
.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу определяется равенством
.
Рассмотрим числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Определение 5.
Математическим
ожиданием (обозначается
)
непрерывной случайной величины Х, все
возможные значения которой принадлежат
интервалу
,
называется интеграл вида
.
Определение 6.
Дисперсией
(обозначается
)
непрерывной случайной величины Х, все
возможные значения которой принадлежат
интервалу
,
называется интеграл вида
,
или выражение
.
Определение 7.
Средним
квадратическим отклонением (обозначается
)
непрерывной случайной величины Х
называется величина вида
,
где - дисперсия непрерывной случайной величины.
Существуют разные виды распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерное, нормальное и др., определяемые способами задания функции . Рассмотрим нормально распределённые случайные величины.
Определение 8. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется нормальным, если её дифференциальная функция имеет вид
,
где - математическое ожидание ;
- среднее
квадратическое отклонение
.
Имеет место следующая теорема.
Теорема(*).
Вероятность
попадания нормально распределённой
случайной величины в заданный интервал
определяется по формуле
,
где
- функция Лапласа.
Следствие 1. Вероятность того, что отклонение случайной величины , имеющей нормальное распределение, от её математического ожидания по абсолютной величине меньше, чем ( >0), определяется по формуле
,
(*)
где
,
т.е. вероятность попадания случайной
величины
в интервал
.
Следствие 2.
Если в формуле (*) положить
;
;
,
то
,
,
.