Формула Байеса

Имеется урн с разноцветными шарами. Наудачу выбирается урна, а затем из неё наудачу вынимается один шар, он оказывается определённого цвета. Какова вероятность того, что он взят, например, из первой урны?

Итак, нам дана полная группа попарно несовместных событий- гипотез - «выбор -той урны» , вероятность появления которых известна до опыта. Известно, что осуществилось событие - «из урны вынули определённого цвета шар». Необходимо вычислить вероятность этих событий-гипотез после опыта, т.е. найти условную вероятность .

Имеет место следующая формула

- формула Байеса.

Рекомендации к решению задач

Если в условии задачи речь идёт о событиях двух типов (двух уровней), которые могут происходить совместно, то, скорее всего, эту задачу надо решать с помощью формулы полной вероятности.

Если же речь идёт о переоценке вероятности события, то, скорее всего, эту задачу надо решать с помощью формулы Байеса.

Рассмотрим примеры применения формулы Байеса для решения конкретных задач.

1) Имеются три одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй – 7 белых и 3 чёрных шара и в третьей – только чёрные шары. Наудачу выбирается урна и из неё наугад вынимается один шар. Выбранный наудачу шар оказался чёрным. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны?

Решение.

Пусть - событие «из урны вынули чёрный шар».

- гипотеза «выбрали первую урну»;

- гипотеза «выбрали вторую урну»;

- гипотеза «выбрали третью урну».

События-гипотезы , , - равновероятны, причём .

Тогда - вероятность того, что из первой урны достанут чёрный шар.

- вероятность того, что из второй урны достанут чёрный шар. - вероятность того, что из третьей урны достанут чёрный шар.

Требуется найти - вероятность того, что чёрный шар вынули из первой урны.

Решим эту задачу с помощью формулы Байеса. Для данной задачи она имеет вид

.

Значит, .

Ответ: .

2) В классе обучаются 20 девочек и 10 мальчиков. К уроку не выполнили задание 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик оказался неподготовленным к уроку. Какова вероятность того, что отвечать был вызван мальчик?

Решение.

Пусть - событие «вызванный ученик оказался неподготовленным к уроку».

- гипотеза «отвечать урок вызвали девочку»;

- гипотеза «отвечать урок вызвали мальчика».

, .

- вероятность того, что вызванная девочка не подготовлена к уроку;

- вероятность того, что вызванный мальчик не подготовлен к уроку.

Тогда вероятность того, что вызванный неподготовленный ученик – мальчик, находится по формуле , т.е.

.

Ответ: .

3) Для сдачи зачёта студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 – на 25 вопросов, 5 – на 20 вопросов и двое – на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос. Найти вероятность того, что этот студент подготовил только половину вопросов.

Решение.

Пусть - событие «вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос».

- гипотеза «студент подготовил все вопросы», ;

- гипотеза «студент подготовил 25 вопросов», ;

- гипотеза «студент подготовил 20 вопросов», ;

- гипотеза «студент подготовил 15 вопросов», .

- вероятность того, что студент, подготовивший все вопросы, ответит на поставленный вопрос;

- вероятность того, что студент, подготовивший 25 вопросов, ответит на поставленный вопрос; аналогично,

, .

- вероятность того, что ответивший на поставленный вопрос студент подготовил половину вопросов. По формуле Байеса имеем

.

, т.е.

.

Ответ: .