С.В. Акманова

Высшая математика

(избранные разделы)

МАГНИТОГОРСК

2006

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУВПО «Магнитогорский государственный университет»

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа

Светлана Владимировна Акманова

Высшая математика

(избранные разделы)

Магнитогорск

2006

Рецензенты:

Кандидат технических наук, профессор кафедры

математического анализа МаГУ

Л.Е. Смушкевич

Доцент кафедры математического анализа МаГУ

Л.Н. Малышева

А40 Акманова С.В.

Высшая математика (избранные разделы): учебно-методическое пособие для студентов технологического факультета. – Магнитогорск : МаГУ, 2006. - 73 с.

В пособии рассмотрены основные теоретические положения, методы и правила решения задач по избранным вопросам высшей математики: нахождение безусловных и условных локальных экстремумов функций многих переменных, глобальных экстремумов функций многих переменных; элементы теории дифференциальных уравнений, включающие в себя подробное рассмотрение решения уравнений с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка; элементы теории вероятностей, а именно: классическое определение вероятности и связанные с ним понятия и теоремы, понятие случайной величины, закон распределения случайной величины, нормально распределенные случайные величины. Приведено большое количество подробно решённых задач, разъясняющих эти положения, методы и правила, предложены задания для самоконтроля, список рекомендуемой литературы.

Для студентов технологического факультета (в первую очередь, для студентов-заочников), а также для студентов университета, самостоятельно изучающих избранные разделы высшей математики.

 Акманова С.В., 2006

Содержание

1. Предисловие…………………………………………………………………….4

2. Раздел 6. Элементы теории оптимизации...…………………………………..5

3. Раздел 7. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений…...……………………………………………………………………24

4. Раздел 8. Вероятность и статистика…………………………………………39

5. Рекомендуемая литература…………………………………………...............71

Приложение………………………………………………………………………72

Предисловие

Данное учебно-методическое пособие представляет собой практическое руководство студентов-заочников технологического факультета всех специальностей для выполнения индивидуальных домашних заданий, которые содержатся в методическом пособии Акмановой С.В., Смушкевича Л.Е. «Комплекс индивидуальных домашних заданий по курсу «Математика» для студентов заочного отделения технологического факультета» (Магнитогорск, 2004). Оно является продолжением изданных ранее пособий Акмановой С.В. «Руководство к решению индивидуальных домашних заданий по курсу «Математика» для студентов заочного отделения технологического факультета» и «Математика. Функции одной и нескольких действительных переменных».

В пособии представлены:

• основные теоретические сведения, охватывающие разделы 6, 7 и 8 указанного комплекса индивидуальных домашних заданий;

• способы и алгоритмы выполнения предложенных домашних заданий;

• задания для самоконтроля;

• список рекомендуемой литературы.

Предлагаемое руководство к решению задач будет также полезным и для студентов дневного отделения университета, начинающих изучать такие разделы математики, как «Элементы теории оптимизации», «Дифференциальные уравнения», «Теория вероятностей и математическая статистика».

Раздел 6. Элементы теории оптимизации (Экстремум функции нескольких переменных)

Ранее нами было рассмотрено понятие экстремума функции одной действительной переменной. Введём понятие экстремума функции нескольких действительных переменных (на примере функции двух действительных переменных) и рассмотрим примеры выполнения заданий на его отыскание.

Задание 1. Исследовать на экстремум функцию.

Необходимые теоретические сведения

Пусть дана функция , определённая на множестве (т.е. - некоторое множество точек координатной плоскости ХОУ).

О пределение 1. Точка называется точкой (строгого) максимума минимума функции , если существует проколотая окрестность этой точки такая, что для всех точек выполняется неравенство .

Другими словами, в точке (строгого) максимума [минимума] функция принимает значение большее [меньшее], чем во всех точках , не совпадающих с точкой и достаточно близких к точке .

О пределение 2. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом минимумом функции .

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а максимумы и минимумы – экстремумами функции .

рис. 1

рис. 2

Аналогично определяется экстремум функций с большим числом переменных.

Функция многих переменных может иметь экстремум только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых её частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Такие точки называют критическими точками функции. Те из них, в которых частные производные первого порядка от данной функции равны нулю, называются стационарными.

О бщий подход в исследовании критической точки на наличие в ней экстремума функции заключается в следующем: критическая точка будет точкой экстремума функции , если для всех точек приращение функции не изменяет знака. При этом если сохраняет положительный знак, то есть точка минимума, а если сохраняет отрицательный знак, то есть точка максимума функции.

В частности, если - стационарная точка функции (т.е. ), то выяснить, является ли она точкой экстремума, можно с помощью следующей теоремы.

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена в некоторой окрестности стационарной точки , при этом имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка. И пусть

, .

Тогда, если:

1) >0, то - точка экстремума функции , причём при >0 - точка минимума, а при <0 – точка максимума;

2) <0, то в точке функция не имеет экстремума;

3) =0 – вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

Замечания. 1. Функция называется непрерывной в точке , если .

2. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. . Число называется пределом функции при (т.е. при , если для любого числа найдётся такое число (зависящее от ), что для всех точек , для которых расстояние до точки меньше (т.е. таких, что ), выполняется неравенство . При этом пишут .

Подробнее с понятиями «предел функций многих переменных», «непрерывность функций многих переменных» можно ознакомиться в учебниках (1, с.286-287), (2, с.402-403), (7, с. 278-284).

Таким образом, получаем следующий