Оглавление

Математический анализ 1

Комплексный анализ 4

3. Функциональный анализ 5

Дискретная математика 7

Дифференциальные уравнения 9

Теория вероятностей и математическая статистика 12

8. Численные методы 15

Методы оптимизации. Теория игр и исследование операций 19

Математический анализ

1. Найти предел .

2. Найти предел .

3. Исследовать функцию на непрерывность .

Знаменатель функции обращается в ноль при х=3. Исследуем ф-ю на непрерывность в этой точке:

В точке х=3 функция терпит неустранимый разрыв второго рода

4. Найти производную функции .

5. Найти частные производные второго порядка по всем переменным функции

.

6. Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости её графика .

Найдем точки подозрительные на экстремум:

y(х) возрастает при х (-∞;1/3) (3;∞) , убывает при х (1/3; 3)

Найдем точки перегиба:

y (x) вогнута при х (5/3 ; ) , выпукла при х (-∞; 5/3)

х=5/3 точка перегиба

7. Найти интеграл .

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Ответ:

9 . Вычислить интеграл , где D - область, ограниченная прямыми , , .

Ответ:

10. Вычислить криволинейный интеграл , где L - дуга параболы от точки (0;0) до точки (1;1).

11. Исследовать ряд на сходимость .

следовательно ряд сходится

Ответ: сходится

12. Найти область сходимости ряда .

Воспользуемся признаком сходимости Даламбера:

Требуем, чтобы , следовательно

Исследуем сходимость на границах интервала:

Ответ:

13. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость .

Проверим выполнение признака Лейбница:

Следовательно ряд сходится условно, исследуем абсолютную сходимость:

ряд расходится как обобщенный гармонический с k=1/2 <1

следовательно абсолютная сходимость не выполняется

Ответ: сходится условно

Комплексный анализ

14. Вычислить , явно выделив действительную и мнимую части.

15. Разложить в ряд Лорана функцию

Точка z=0 является особой точкой функции, других особых точек функция не имеет. Ряд Лорана для данной функции будет только один и сходиться он будет в области |z|>0.

В известном разложении заменяем z на –1/z² и получаем

3. Функциональный анализ

16. Дано пространство и в нем скалярное произведение . Проверить, что оно удовлетворяет аксиомам скалярного произведения.

Аксиомы скалярного произведения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 — неотрицательность скалярного квадрата.

для

Аксиомы 1,2,3 выполняются в силу свойств определенного интеграла. Проверим выполнение аксиомы 4. Для ненулевой функции , так как, если в какой-нибудь точке функция , то в силу непрерывности она отлична от нуля в некоторой окрестности точки , целиком лежащей в интервале (а,в). Поэтому интеграл от в этой окрестности больше нуля.

Таким образом пространство и в нем скалярное произведение является евклидовым.

17. Убедитесь, что функция образует ортонормированную систему функций в пространстве .

Скалярное произведение любых двух элементов системы должно равняться нулю и иметь норму равную единице.

18. Является ли заданное отображение линейным оператором в V₃ :

А: (х₁, х₂, х₃) -> (х₁-х₂, х₂+3х₃-х₁, х₃+5х₂) в базисе из единичных векторов.

Чтобы А являлся линейным оператором должно выполняться:

Найдем А=

A= линейный оператор приводящий (х₁, х₂, х₃) -> (х₁-х₂, х₂+3х₃-х₁, х₃+5х₂)

19. Является ли группой множество квадратных матриц второго порядка вида , определители которых равны 1, где (a, b, c, d) \in R относительно операции умножения матриц.

Так как для операции умножения квадратных матриц второго порядка выполняется свойство ассоциативности мы можем считать множество квадратных матриц второго порядка вида , определители которых равны 1, где (a, b, c, d) \in R относительно операции умножения матриц полугруппой.

Полугруппа называется группой, если в ней существует нейтральный элемент и для любого ее элемента существует обратный относительно операции умножения.

Нейтральный элемент – это элемент, для которого выполняется свойство коммутативности при операции умножения: A*e = e*A.

Во множестве квадратных матриц второго порядка вида , определители которых равны 1, где (a, b, c, d) \in R есть такой элемент - это единичная матрица второго порядка.

Так как определитель любого элемента данного множества равен 1, любой элемент из этого множества имеет обратный относительно операции умножения.

Вывод: множество квадратных матриц второго порядка вида , определители которых равны 1, где (a, b, c, d) \in R относительно операции умножения матриц является группой.

20. Записать параметрическое уравнение гиперплоскости (A₁ A₂ A₃ A₄ A₅).

A1					A2						A3						A4						A5
-3	-8	-3	3	1		-9	-1	-9	-2	1		2	3	-4	4	5		3	-9	-3	-8	-3		3	1	-9	-1	-9

Найти базис направляющего подпространства