9. Кратные интегралы.

Двойные и тройные интегралы. Их свойства и вычисление. Замена переменных в кратных интегралах. Приложения интегралов.

Двойные интегралы.

Пусть в области определена ф. . Разобьём область сетью кривых на конечное число областей , площади которых будут . В пределах – й элементарной области возьмём произвольную т. , значение ф. в этой т. умножим на площадь соответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму: будем называть интегральной суммой для ф. в области .

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей .

Опр1 ( Двойной интеграл).

Конечный предел интегральной суммы при называется двойным интегралом ф. в области и обозначается символом:

Свойства двойного интеграла.

1. Если произвольным образом изменить знач. интегрируемой в функции вдоль какой-либо кривой с площадью (с тем лишь условием, чтобы и изменённая ф. оставалась ограниченной), то вновь полученная ф. также интегрируемая в , и её интеграл равен интегралу от .

2. Если область , в которой задана ф. , кривой (с площадью 0) разложена на две области и , то из интегрируемости ф. во всей области следует её интегрируемость в частичных областях и вытекает интегрируемость в области . При этом: .

3. Если умножить интегрируемую в ф. на постоянную , то полученная ф. также будет интегрируема, и при этом: .

4. Если в области интегрируемы ф. и , то интегрируема и ф. , причём: .

5. Если для интегрируемых в ф. и выполняется неравенство , то: .

6. В случае интегрируемости ф. интегрируема и ф. , и имеет место неравенство: .

7. Если интегрируемая в ф. удовлетворяет неравенству: , то .

Вычисление двойного интеграла.

Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.

Т1.Если для ф. , определённой в прямоугольнике , двойной интеграл: и при каждом постоянном значении из простой интеграл: где , то также повторный интеграл:

Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области.

Р ассмотрим область , ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми: , , где , а с боков – двумя ординатами: и .

Т2.Если для ф. , определённой в области , двойной интеграл и при каждом постоянном значении из простой интеграл: , то также повторный интеграл:

Тройные интегралы.

Пусть в некоторой пространственной области задана ф. . Разобьём эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частей , имеющих соответственно объёмы . В пределах – го элемента возьмём произвольным образом т. , значение ф. в этой т. умножим на объём и составим интегральную сумму:

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей .

Опр2 ( Тройной интеграл).

Конечный предел интегральной суммы при называется двойным интегралом ф. в области и обозначается символом:

Свойства тройного интеграла.

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых ф. вдоль конечного числа поверхностей с объёмом 0.

2. Если , то , причём если интеграл слева, то и интегралы справа.

3. Если , то .

4. Если в области интегрируемы две ф. и , то интегрируема и ф. , причём:

.

5. Если для интегрируемых в области ф. и выполняется неравенство , то: .

6. В случае интегрируемости ф. интегрируема и ф. , и имеет место неравенство: .

7. Если интегрируемая в ф. удовлетворяет неравенству , то

.

Вычисление тройного интеграла.

Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед.

Т3.Если для ф. , определённой в прямоугольнике , тройной интеграл: и при каждом постоянном из двойной интеграл: то также повторный интеграл:

В ычисление тройного интеграла, по любой области.

Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельной им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре. имеющей площадь; Через обозначим её проекцию на плоскость . Тогда:

Замена переменных в кратных интегралах.

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается. Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой:

где выражение представляет собой так называемый якобиан преобразования , а – образ области интегрирования , который можно найти с помощью подстановки , в определение области . Предполагая, что преобразование координат  является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом при условии, что знаменатель нигде не равен 0.

Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

1. Найти образ в новой системе координат  для исходной области интегрирования  ;

2. Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных: ;

3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные и , выполнив, соответственно, подстановки: и .

http://www.math24.ru/%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B2-%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%85.html

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах в области : . Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах . Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: , , .

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Ф. непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования в пространстве и точками области в пространстве ;

3. Якобиан преобразования , равный: , сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования .

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

.http://www.math24.ru/%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B2-%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%85.html

Приложения двойных интегралов.

Геометрические приложения двойных интегралов.

1. Площадь плоской фигуры.

Если в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования .

Площадь области типа (относительно оси ) выражается повторным интегралом в виде:

Для области типа (относительно оси ) выражается повторным интегралом в виде:

2. Объем тела.

Если в области интегрирования  , то объем цилиндрического тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью , выражается формулой:

Если область типа , ограниченной линиями: , , , , то:

Если область типа , ограниченной линиями: , , , , то:

Если в области выполняется неравенство , то объём тела ограниченного поверхностями: и c основанием равен:

3. Площадь поверхности.

Предположим, что поверхность задана функцией , имеющей область определения . Тогда площадь такой поверхности над областью определяется формулой:

4. П лощадь и объём в полярных координатах.

Пусть является областью, ограниченной линиями: , , , . Тогда площадь этой области определяется формулой:

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью c основанием , выражается в полярных координатах в виде:

Физические приложения двойных интегралов:

1. Масса и статические моменты пластины.

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область в плоскости . Пусть плотность пластины в точке в области равна . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде:

Статические моменты пластины относительно осей  и определяются формулами:

Координаты центра масс пластины, занимающей область в плоскости с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами:

2. Момент инерции пластины.

Моменты инерции пластины относительно осей  и выражаются формулами:

Полярный момент инерции пластины равен:

3. Заряд пластины.

Пусть электрический заряд распределен по области  в плоскости и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется:

Приложения тройных интегралов.

Вычисление объёмов с помощью тройных интегралов.

Объём тела в декартовых координатах выражается формулой:

В цилиндрических координатах объем тела равен:

В сферических координатах, соответственно, используется формула:

Физические приложения тройных интегралов.

1. Масса и статические моменты тела.

Пусть тело занимает объем и его объемная плотность в точке задана функцией . Тогда масса тела вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей , , :

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

2. Моменты инерции тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей , , :

Моменты инерции тела относительно координатных осей , , :

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл:

3. Тензор инерции.

Матрица инерции или тензор инерции тела:

4. Гравитационный потенциал и сила тяготения.

Ньютоновым потенциалом тела в точке называется интеграл:

где – плотность тела.

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы и заданного распределенного тела с плотностью по формуле:

где – гравитационная постоянная. .