4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рац. дроби, интегрируются с помощью шести формул:

1. .

2. .

У дробей с квадратичными знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где , , . Затем применяются формулы:

3. .

4. .

5. .

Интеграл может быть вычислен за шагов с помощью формулы редукции:

6. .

Интегрирование иррациональных функций.

1. Для интегрирования иррациональной ф., содержащей используется подстановка .

2. Для интегрирования иррациональной ф., содержащей несколько рациональных степеней ,

применяется подстановка в форме , где полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную ф.

3. Рациональная ф. под знаком корня – ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки

4. Интегрирование иррациональных ф., содержащих , и , производится при помощи тригонометрических или гиперболических подстановок.

Тригонометрические или гиперболические подстановки.

1. Для интегралов вида: используется подстановка:

, , , .

2. Для интегралов вида: используется подстановка:

Тригонометрическая:

, , , .

Гиперболическая:

, , , .

3. Для интегралов вида: используется подстановка:

Тригонометрическая:

, , , .

Гиперболическая:

, , , .

8.Интеграл Римана и его свойства.

Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. Несобственные интегралы. Геометрические приложения определенного интеграла

Интеграл Римана и его свойства.

Интегральные суммы. Интегрируемость.

Опр1 (Точка разбиения, Длинна частичного сегмента).

Пусть ф. задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых не совпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , …, , а – разность , будем называть длинной частичного сегмента.

Опр2 (Интегральная сумма).

Число , где , называется интегральной суммой ф. , соответствующей данному разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах . Будем через обозначать длину максимального частичного сегмента разбиения , т.е. .

Геом. смысл.

Рассмотрим криволинейную трапецию. Интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры.

Опр3 (Предел интегральной суммы).

Число называется пределом интегральной суммы при , если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для любого разбиения сегмента , максимальная длина частичных сегментов которого меньше , независимо от выбора точек на сегментах выполняется неравенство: .

Обозначается так: .

Опр4 (Интеграл Римана. Определённый интеграл).

Ф. называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если конечный предел интегральных сумм этой ф. при . Указанный предел называются определённым интегралом от ф. по сегменту и обозначается следующим образом: .

Формула Ньютона – Лейбница.

Основная формула интегрального исчисления.

Теорема1. Любая непрерывна на интервале ф. имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является ф.: , где – любая фиксированная т. интервала .

Зам.: Первообразная также у непрерывной на сегменте ф. И в качестве можно взять .

Очевидно, что две любые первообразные данной ф. отличается на постоянную. Поэтому, по Т1 и замечанию к ней, можно утверждать что любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид: , где – некоторая постоянная. Полагая в последней ф. , затем , получим: , . Из этих равенств получаем формулу Ньютона – Лейбница: .

Замена переменной и интегрирование по частям.

Замена переменной под знаком определённого интеграла.

Пусть выполнены следующие условия:

1. ф. непрерывна на сегменте ;

2. сегмент является множеством значений некоторой ф. , определённой на сегменте и имеющие на этом сегменте непрерывную производную;

3. , .

Тогда справедлива формула:

Называемая формулой замены переменной под знаком определённого интеграла.

Интегрирование по частям.

Пусть ф. и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определённых интегралов:

Т.к. и , то формулу можно переписать:

Несобственные интегралы.

Определённый интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Предел и (или оба предела) являются бесконечными;

2. Ф. имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала .

Бесконечные пределы интегрирования:

1. Если непрерывна в интервале , то .

2. Если непрерывна в интервале , то .

Если пределы и конечны, то несобственный интеграл сходится. Иначе расходится.

3. Если непрерывна на , то .

Если для оба интеграла в правой части сходятся, то и интеграл тоже сходится. Иначе он расходится.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Площадь плоской фигуры.

1. Е сли ф. непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда площадь фигуры, ограниченной , отрезками прямых , и графиком ф. , вычисляется по формуле: .

2. Е сли на отрезке а так же непрерывны на нём, то площадь фигуры ограниченной прямыми , , графиками ф. , вычисляется по формуле: .

3. Е сли ф. на отрезке принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключённая между кривой и , равна: .

В ычисление площади криволинейного сектора.

Пусть кривая задана в полярных координатах ур. , , причём – непрерывная и неотрицательная на отр. ф. Фигуру, ограниченную кривой и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , будем называть криволинейным сектором. Площадь вычисляется по формуле: .

Вычисление длины дуги плоской кривой.

1. Если ф. непрерывна вместе с её производной на отр. , то длина дуги , где , , выражается формулой: .

2. Если кривая задана параметрическими ур. и , где , – дифференцируемые ф., причём , то длина дуги выражается формулой:

.

3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги: .

Вычисление объёмов.

1. Вычисление объёма тела по параллельных сечений.

Если известны площади сечений тела плоскостями, перпенд. , т.е., зная , мы можем вычислить площадь сечения . Тогда объем тела: .

2. Вычисление объёма тела вращения.

1. Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми , , вокруг оси , то объём тела:

;

2. Если тело образованно вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми , и осью , вокруг оси , то его объём:

;

3. Если тело образовано вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линией , прямыми , и осью , то его объём:

;

4. Если криволинейный сектор вращается вокруг полярной оси, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами , , то объём полученного тела:

.

Вычисление площади поверхности вращения.

1. Поверхность, образованная вращением кривой , вокруг оси , имеет площадь: .

2. Если кривая задана параметрическими ур. и , причём и , то: .

3. Если дуга , , задана в полярной системе координат, и вращается вокруг полярной оси, то площадь вычисляется по формуле: .