7.Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Опр1 (Первообразная).
Ф.
в данном промежутке называется
первообразной
функцией для ф.
или интегралом
от
,
если во всём этом промежутке,
является производной для ф.
или, что то же,
служит для
дифференциалом:
или
.
Теорема1.
Если в некотором
(конечном или бесконечном, замкнутом
или нет) промежутке Ω ф.
есть первообразная для ф.
, то и ф.
,
где
– любая постоянная, также будет
первообразной. Верно и обратное, каждая
ф., первообразная для
в промежутке Ω, может быть представлена
в этой форме.
Док-во:
То обстоятельство, что, наряду с
,
и
является первообразной для
,
вполне очевидно, ибо
.
Пусть теперь
будет любая первообразная для
,
такая что в промежутке Ω:
.
Т.к. ф.
и
в рассматриваемом пром. имеют одну и ту
же производную, то они разнятся на
постоянную:
,
что и требовалось доказать.
Опр2 (Неопределенный интеграл).
В
силу Т1 выражение
,
где
– произвольная постоянная, представляет
собой общий вид
ф., которая имеет производную
или дифференциал
.
Это выражение называется неопределённым
интегралом
.
Обозначается символом:
в котором (неявным образом) уже заключена
произвольная постоянная. Произведение
называется подинтегральным
выражением, а ф.
– подинтегральной
функцией.
Свойства неопределённого интеграла.
.
.
Основные методы интегрирования.
Простейшие правила интегрирования.
,
где
,
.
.Если
,
то
.
Таблица основных интегралов.
.
.
,
где
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Замена
переменной.
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если
ф.
непрерывна на
,
и ф.
имеет на
непрерывную производную и
,
то
причём
после интегрирования а правой части
следует сделать обратную подстановку
.
Пример:
Метод интегрирования по частям.
Пусть
ф.
и
имеют непрерывные производные. Тогда,
по правилу дифференцирования произведения:
,
для выражения
первообразной будет
,
и имеет место формула:
.
Эта формула отражает суть правила
интегрирования по
частям.
Пример:
Найти
.
Положим
,
,
следовательно
,
.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование
рац. ф.
,
где
и
– полиномы, выполняется в несколько
шагов:
Преобразование неправильной рац. Дроби.
Если дробь неправильная (т.е. степень больше ), то разделим многочлен на :
,
где
– правильная рац. дробь.
Разложение знаменателя на простейшие дроби.
Запишем
многочлен знаменателя
в виде:
,
где квадратичные ф. являются несократимыми.
т.е. не имеют действительных корней.
Разложение рац. Дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
Общее
число неопределённых коэфф.
должно быть равно степени знаменателя
.
Затем умножим обе части полученного урав. на знаменатель и приравняем коэфф. при слагаемых с одинаковыми степенями . В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэфф. . Данная система всегда имеет единственное решение. Это метод неопределённых коэфф.