6. Исследование функций одной и двух переменных с помощью производной.

Условия постоянства и монотонности функции. Исследование функций одной и двух переменных на экстремум. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функции одной переменной.

Исследование функций одной и двух переменных с помощью производной.

Условия постоянства функции.

Т1. (Условие постоянства).

Пусть ф. определена и непрерывна в промежутке Ω и имеет внутри него конечную производную . Для того, чтобы была в Ω постоянной, необходимо и достаточно выполнения условия внутри Ω.

Док-во: Необходимость условия очевидна: из следует, что . Достаточность: Пусть усл. выполнено. Фиксируем некоторую т. из промежутка Ω и возьмём любую другую его т. . Для пром. или удовлетворены все условия теоремы Лагранжа (см. ниже), следовательно можно записать: , где содержится между и и значит заведомо лежит внутри Ω. Но по предположению , так что для всех из Ω: . ч.т.д.

Следствие: Если две ф. и определены и непрерывны в промежутке Ω и внутри него имеют конечные производные и , причём , то эти ф. во всём промежутке Ω разнятся лишь на постоянную: , где .

Теорема Лагранжа (теорема о среднем значении).

Пусть: 1)ф. определена и непрерывна в замкнутом промежутке ; 2) конечная производная , по крайней мере, в открытом промежутке .Тогда между и найдётся такая т. с, причём , что выполняется равенство: .

Условия монотонности функции.

Т2. (Условие монотонности (в широком смысле)).

Пусть ф. определена и непрерывна в промежутке Ω и имеет внутри него конечную производную . Для того, чтобы была в Ω монотонно возрастающей (убывающей) в широком смысле, необходимо и достаточно выполнения условия .

Т3. (Условие монотонности (в узком смысле)).

Пусть ф. определена и непрерывна в промежутке Ω и имеет внутри него конечную производную . Для того чтобы была монотонно возрастающей (убывающей) в строгом смысле, необходимы и достаточны условия:

1. для внутри Ω.

2. не обращается тождественно в 0 ни в каком промежутке, составляющем часть Ω.

Исследование функций одной переменной на экстремум.

Максимумы и минимумы (Экстремумы); необходимые условия.

Опр1. ( максимум (минимум) ф.)

Говорят, что ф. имеет в т. максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью , содержащейся в промежутке, где задана ф., что для всех её т. выполняется неравенство: (или ).

Зам.: Определение предполагает, что ф. задана по обе стороны от т. .

Опр2. ( Собственный (несобственный) максимум (минимум) ф.)

Если такая окрестность, в пределах которой (при ) выполняется строгое неравенство:

(или ), то говорят что ф. имеет в точке собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если ф. имеет, к примеру, максимумы в т. и , то, применяя к промежутку вторую теорему Вейерштрасса, видим что наименьшего своего значения в этом пром. ф. достигает некоторой т. между и и имеет там минимум.

В случае, когда ф. имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они попросту чередуются.

Экстремум следует искать только в тех т., где . Такие точки называются стационарными.

Но это лишь необходимое условие, оно не является достаточным.

Достаточные условия. Первое правило.

Если т. стационарная т. для ф. или если в этой т. не для неё двусторонней конечной производной, то т. представляется, так сказать лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит в проверке достаточных условий для экстремума.

Предположим, что в некоторой окрестности т. (по крайней мере, для ) конечная производная и как слева от , так и справа от (в отдельности) сохраняет определённый знак. Тогда возможны следующие три случая:

1. при и при , т.е. производная при переходе через т. меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке ф. возрастает, а в промежутке убывает. Т.е. в т. ф. имеет собственный максимум.

2. при и при , т.е. производная при переходе через т. меняет знак с минуса на плюс. В этом случае ф. в т. имеет собственный минимум.

3. как при так и при , либо же и слева и справа от , т.е., при переходе через , не меняет знака. Тогда ф. либо всё время возрастает, либо всё время убывает. Т.е. экстремума нет.

Опр3 (Первое правило).

Подставляя в производную сначала а затем , устанавливаем знак производной вблизи от т. слева и справа от неё; если при этом производная меняет знак плюс на минус, то имеем максимум, если меняет знак минус на плюс, то имеем минимум; если же знака не меняет, то экстремума нет.

Зам.: правило полностью решает вопрос, когда на промежутке , лишь конечное число стационарных т., или т. где отсутствует конечная производная.

Исследование знака второй производной. Второе правило.

Опр4 (Второе правило).

Для испытания «подозрительного» значения : подставляем во вторую производную ; если , то ф. имеет минимум, если же , то – максимум.

Зам.: Правило имеет узкий круг применения; оно неприложимо к тем точкам, где не конечной первой производной, ибо там и речи быть не может о второй. И когда . Тогда смотрят поведение высших производных.

Использование высших производных.

Первое и второе правила не учитывают случай, когда и . Предположим, что ф. имеет в т. – последовательных производных, причём все они вплоть до –й, в этой т. обращаются в нуль: , причём .

Опр5 ( Правило для высших порядков).

Если первая из производных, не обращающихся в т. в нуль, есть производная нечётного порядка, ф. не имеет в точках ни максимума, ни минимума. Если такой производной является производная чётного порядка, ф. в т. имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна или положительна.

Исследование функций двух переменных на экстремум.

Экстремумы функции нескольких переменных.

Пусть ф. определена в области Ψ и т. будет внутренней точкой этой области.

Опр6. ( максимум (минимум) ф.)

Говорят, что ф. в т. имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью: , чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство: ( ).

Опр7. ( Собственный (несобственный) максимум (минимум) ф.)

Говорят, что ф. в т. имеет собственный максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью: , чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство: ( ). В противном случае имеем несобственный максимум (минимум).

Опр8. ( Необходимое условие существовании экстремума).

Если ф. в некоторой т. имеет экстремум, и если в этой т. конечные (частные) производные: , то все эти частные производные равны нулю.

Экстремум, как и в случае с ф. одной переменной, следует искать только в тех т., где . Такие точки называются стационарными.

Выпуклость и вогнутость функции.

Опр9 (выпуклость (вогнутость)).

Ф. , определена и непрерывная в промежутке Ω, называется выпуклой (выпуклой вниз), если для любых т. и из Ω выполняется неравенство: , каковы бы ни были положительные числа и , в сумме дающие единицу.

Ф. называется вогнутой (выпуклой вверх). если .

Свойства выпуклых функций.

1. Произведение выпуклой ф. на положительную постоянную есть выпуклая ф.

2. Сумма двух или нескольких выпуклых ф. тоже выпукла.

3. Если есть выпуклая и притом возрастающая ф., а также выпукла, то и сложная ф. будет выпуклой.

4. Если и однозначные взаимно обратные ф. (в соответствующих промежутках), то одновременно:

выпукла, возрастает выпукла, убывает вогнута, убывает	вогнута, возрастает выпукла, убывает вогнута, убывает

Выпуклая в промежутке Ω ф. , отличная от постоянной, не может достигать наибольшего значения внутри этого промежутка.

6. Если промежуток , где , содержится в промежутке Ω, в котором ф. выпукла, то соотношением выполняется либо всегда со знаком равенства, либо всегда со знаком неравенства.

Условия выпуклости функции.

Т1. (Первая производная).

Пусть ф. определена и непрерывна в промежутке Ω и имеет в нем конечную производную . Для того, чтобы была выпуклой в Ω, необходимо и достаточно, чтобы её производная возрастала (в широком смысле).

Т2. (Вторая производная).

Пусть ф. определена и непрерывна вместе со своей производной в промежутке Ω и имеет внутри него конечную вторую производную . Для выпуклости ф. в Ω необходимо и достаточно, чтобы внутри Ω выполнялось: .

Т3. (Графический способ).

Пусть ф. определена и непрерывна в промежутке Ω и имеет в нем конечную производную . Для выпуклости ф. необходимо и достаточно, чтобы её график всеми точками лежал над своей касательной.

Точки перегиба.

Опр10 (Точка перегиба).

Т. кривой называют её точкой перегиба, если она отделяет участок кривой, где ф. выпукла (выпукла вниз), от участка, где эта ф. вогнута (выпукла вверх).

А симптоты графика функции одной переменной.

Опр11 (Асимптота).

Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой определённой прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта пряма называется асимптотой кривой.

Стандарная схема исследования.

Первая производная:

1. Обл. определения, обл. знаяения.

2. Чётность, нечётность.

3. Периодичность.

4. Крит. т.

5. Экстремум.

Вторая производная:

1. Выпуклость, вогнутость.

2. Перегибы.

3. Асимптоты.