5. Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной переменной.

Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной переменной.

Теорема Ферма.

Пусть ф. определена в некотором промежутке Ω и во внутренней т. этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой т., то необходимо чтобы .

Зам.: Предполагается, что является внутренней т. промежутка, т.к. нам пришлось рассматривать и т. справа от , и т. слева от . Без этого предположения теорема неверна.

Теорема Дарбу.

Если ф. имеет конечную производную в промежутке , то ф. принимает в качестве значения, каждое промежуточное число между и .

Теорема Ролля.

Пусть:

1. ф. определена и непрерывна в замкнутом промежутке ;

2. конечная производная , по крайней мере, в открытом промежутке ;

3. на концах промежутка ф. принимает равные значения: .

Тогда между и найдётся такая т. с, причём , что выполняется равенство: .

Теорема Лагранжа (теорема о среднем значении).

Пусть:

1. ф. определена и непрерывна в замкнутом промежутке ;

2. конечная производная , по крайней мере, в открытом промежутке .

Тогда между и найдётся такая т. с, причём , что выполняется равенство:

.

Зам.: Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Равенство также называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теорема Коши (обобщенная теорема о среднем значении).

Пусть:

1. ф. и непрерывны в замкнутом промежутке ;

2. конечные производные и , по крайней мере, в открытом промежутке ;

3. в промежутке .

Тогда между и найдётся такая т. с, причём , что выполняется равенство:

.

Док-во: Установим сперва, что , иначе нет смысла. Если бы было , то, по теореме Ролля, в некоторой т. была бы равна 0, что противоречит 3-му условию. Рассмотрим теперь вспомогательную ф.: . Эта ф. удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна в , т.к. непрерывны и ; производная существует в . Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что . Вследствие этого в пром. такая т. , что . Иначе говоря, или . Разделив на (это можно, т.к. , получаем требуемое равенство.

Зам.: Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Данное равенство также называют формулой Коши. Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует положить .

Правило Лопиталя (Раскрытие неопределенностей)

Раскрытие неопр. вида .

Будем говорить, что отношение двух ф. представляет собой при неопр. вида , если .

Т1. Правило Лопиталя.

Пусть две ф. и определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности т. , за исключением, быть может, самой т. . Пусть, далее, и производная отлична от нуля всюду в указанной выше окрестности т. . Тогда, если (конечное или бесконечное) предельное значение: , то и предельное значение , причём справедлива формула: .

Зам.: Правило позволяет раскрывать неопр. вида , сводя вычисление предельного значения отношения двух ф. к вычислению пред. значения отношения их производных.

Раскрытие неопр. вида .

Будем говорить, что отношение двух ф. представляет собой при неопр. вида , если .

Для раскрытия этой неопределенности справедливо правило Лопиталя, с той лишь разницей, что .

Раскрытие неопр. других видов.

Встречаются также неопр. вида: , , , , .

Все эти неопр. сводятся к неопр. вида , путём алгебраических преобразований.

Например последние три неопр. имеют вид: . Прологарифмировав выражение получим: .