4. Производные функции одной и нескольких переменных.

Дифференцируемость функций и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Специальные методы дифференцирования функций.

Производные функции одной переменной.

Пусть ф. опред. на некотором интервале . Фиксируем любое знач. из указанного интервала и зададим аргументу в т. произвольное приращение такое, что знач. также принадлежит интервалу .

Опр1 (Приращение ф.)

Приращ. ф. в т. , соответствующим приращению аргумента , назовём число:

.

Зам.: Для того чтобы ф. являлась непрерывной в т. , необходимо и достаточно, чтобы приращение этой ф. в т. , соответствующее приращению аргумента , являлось бесконечно малым при .

Опр2 (Условие непрерывности ф. (в разностной форме))

Ф. непрерывна в т. , если приращение этой ф. в т. , соответствующее приращению аргумента , является б.б. при , т.е.: .

Считая рассм. в данной т. отношение приращения ф. в этой т. к соответствующему приращению аргумента : .

Опр3 (Производная ф. одной переменной).

Производной ф. в данной фиксированной т. называется предел при разностного отношения (при условии, что этот предел существует).

Обозначается так: .

С физической точки зрения, ф. может описывать закон движения материальной т. по прямой линии (т.е. зависимость пути , пройденного т. от начала отсчёта, до ). Тогда производная определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Производные функции нескольких переменных.

Чтобы рассмотреть опр. условия непрерывности, рассмотрим так называемые частные приращения ф. в т. , принадлежащей области определения ф. Зафиксируем все аргументы, кроме первого, а первому аргументу придадим произвольное приращение такое, чтобы т. с координатами находилась в области задания ф. Соответствующее приращение ф. называется частным приращением ф. в т.

, соответствующим приращению аргумента и обозначается . Таким образом: .

Опр4 (Условие непрерывности ф.)

Ф. называется непрерывной в т. по переменной , если частное приращение и этой функции в т. представляет собой бесконечно малую ф. от , т.е.: .

Зам.: При фиксированных значениях всех переменных, кроме переменной , ф. представляет собой ф. одной этой переменной.

Считая рассм. в данной т. отношение приращения ф. в этой т. к соответствующему приращению аргумента :

Опр5 (Производная ф. нескольких переменных (Частная производная)).

Если предел отношения частного приращения и ф. в т. к соответствующему приращению аргумента при , то этот предел называется частной производной ф. в т. по аргументу и обозначается одним из следующих символов: , , , .

Т.е. .

Дифференцируемость функций.

Опр6 (Понятие дифференцируемости).

Ф. называется дифференцируемой в данной т. , если приращение этой ф. в т. , соответствующее приращению арг. , может быть представлено в виде: , где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , являющаяся б.м. при .

Т1. (Необходимое и достаточное условие дифф.-ти)

Для того чтобы ф. являлась дифференцируемой в данной т. , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой т. конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость. Пусть ф. дифф-ма в данной т. , т.е. её приращение в этой т. представимо в виде . Предположив, что и поделив это равенство на , получим: . Из полученного равенства вытекает существование производной, т.е. предельного значения . 2) Достаточность. Пусть ф. имеет в данной т. конечную производную, т.е. предельное значение: . В силу определения предельного знач. ф.: аргумента является б.м. при , т.е. , где . Это представление совпадает с исходным, если обозначить через не зависящее от число . Ч.т.д.

Зам.: Т1 позволяет отождествлять понятие дифференцируемости ф. в данной т. с понятием существования у ф. в данной т. производной. Именно по этому операция нахождения производной называется дифференцированием.

Понятие дифференциала.

Пусть ф. дифференцируема в т. , т.е. приращение этой ф. в т. может быть записано в виде: . Первое слагаемое при представляет собой функцию приращения аргумента , линейную и однородную относительно ; также оно представляет собой при б.м. такого же порядка, что и ; Второе слагаемое при является б.м. более высокого порядка, чем (т.к. при ). Таким образом, при первое слагаемое является главной частью приращения дифф.-ой ф.

Сухой остаток: Дифференциалом функции называется главная часть приращения дифференцируемой функции.

Производные высших порядков.

Понятие производной n – го порядка.

Производная ф. , определённой и дифференцируемой на интервале , представляет собой ф., также определённую на интервале . Может случится, что эта ф. сама является дифференцируемой в некоторой т. интервала , т.е. имеет в этой т. производную. Тогда указанную производную называют производной 2 – го порядка ф.

Обозначают так: , , , ,

После того как введено понятие второй произв., можно ввести понятие третей произв. и .т.д. Таким образом, понятие n – й произв. будет вводится индуктивно, переходя от перво к последующим.

Обозначают так: .

Что касается физ. смысла, если первая производная это скорость движущейся точки в момент времени , то вторая это скорость изменения скорости, т.е. ускорения точки.

Производные некоторых ф.

1) Степенной ф.

.

2) Показательная ф.

.

3) n – я производная (Аналогично )

.

4) Дробно – линейная ф.

.

5) Формула Лейбница для n – й производной произведения двух ф.

.

Дифференциалы высших порядков.

Предположим, что ф. дифференцируема в некоторой окрестности т. . Тогда первый дифференциал этой ф. имеет вид и является ф. двух переменных: т. и величины .

Также предположим, что ф. также является дифференцируемой в т. и что вел. имеет одно и тоже фикс. значение для всех точек рассматриваемой окрестности .

При этих предположениях существует дифференциал ф. в т. , обозначаемый символом , и определяемый формулой: .

Опр7 (Второй дифференциал).

Значение дифференциала от первого дифференциала , взятое при , называют вторым дифференциалом ф. ( в т. ) и обозначают символом .

Второй дифференциал записывают так: .

Аналогично, методом индукции, будут определяться дифференциалы высших порядков.

Дифференциал n – го порядка записывают так: .

Специальные методы дифференцирования функций.

Логарифмическое дифференцирование.

Так называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием можно использовать для нахождения производных степенных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция . Прологарифмируем её: .

Продифференцируем это выражение как сложную ф., имея в виду, что – это ф. от .

.

Видно что, искомая логарифмическая производная равна:

.