39. Интервальное оценивание параметров распределений.

Интервальная оценка. Доверительная вероятность(надёжность оценки). Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке: оценка доли, математического ожидания(среднего), дисперсии.

Интервальной оценкой параметра θ называют численный интервал ( ), который с заданной вероятностью γ накрывает значение θ.

Вероятность называется доверительной вероятностью. Если , то доверительный интервал ) уменьшается. Если , то доверительный интервал ) увеличивается.

При увеличении объема выборки n, доверительный интервал сужается, в обратном случае - увеличивается.

Если интервал ( ) симметричный. то эта оценка определяется следующим образом: (вероятность того, что параметра отклонится от этого параметра не более чем на должна быть = γ.

Число - точность оценки. Чем меньше точность оценки. тем меньше , а значит точнее оценка .

Исходя из определения симметричный интервал выглядит так: (

Если , то есть объем выборки большой. то выборка будет иметь закон распределения асимптотически приближающийся к нормальном. Тогда к данным выборкам может быть применено свойство: .

Доверительная вероятность γ обычно принимается =0.95 или 0.99

Доверительный интервал для оценки генеральной средней и генеральной доли:(большая выборка) доверительный интервал

и .Если генеральная D= не известна. то заменяем ее выборочной , тогда и .

40. Проверка статистических гипотез.

Общая схема проверки гипотезы. Мощность и значимость критерия оценки. Проверка гипотез о равенстве средних, долей, дисперсий, двух генеральных совокупностей. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Проверка гипотез о виде закона распределения. Критерий Пирсона, Колмогорова.

Принцип практической уверенности состоит в том, что событие, наступление которого имеет наименьшую вероятность. считается практически невозможным. То есть .

Замечание: если рассматривать последовательность из n независимых испытаний, в каждом из которых практически невозможно событие А может как произойти, так и не произойти, то вероятность наступления А хотя бы 1 раз в серии из n будет равна: т.е.в этом случае наступление практически невозможного события увеличивается в n раз и уже не может рассматриваться как практически невозможное событие.

Статистическая гипотеза - любое предположение о значениях параметров или виде закона распределения, которые неизвестны.

Простая статистическая гипотеза - гипотеза. которая полностью определяет теоретический закон распределения.

Статистические гипотезы делятся на:

1. параметрические - гипотезы о параметрах известного закона распределения случайной величины.

2. не параметрические - гипотезы о виде неизвестного закона распределения.

Статистическая гипотеза, считающаяся в данной задаче наиболее правдоподобной называется нулевой гипотезой (Н₀), гипотеза являющаяся отрицанием нулевой называется альтернативной гипотезой (Н₁).

Статистический критерий- правило, с помощью которого нулевая гипотеза принимается или отвергается на основании результата. наблюдаемых в выборке.

Алгоритм:

1. с оставляем статистику - выборочную характеристику для которой известно точное или приближенное распределение.

2. находим/определяем критическое значение статистики. Происходит разбиение на 2 области: область Н₁ и Н_0. Область Н₁ обозначается w и называется критической областью.

3. по заданной выборке вычисляем наблюдаемое значение статистики. Если оно попадает в область , то гипотезу Н₀ принимаем, если же попадает в критическую область. то гипотезу Н₀ отвергаем.

Н0	Принять	отвергнуть
верно	решение правильное	ошибка I рода
неверно	ошибка II рода	решение правильное

- уравнение значимости критерия.

Опр: вероятность того, что наблюдаемое значение попадет в критическую область при условии. что выполнится альтернативная гипотеза = 1-β , это называется мощностью критерия. При одинаковых λ выбирают тот критерий. мощность которого больше. Это правило называется правилом Неймана-Пирса.

Сравнение средних нескольких совокупностей: пусть по выборкам получены выборочные средние значения признака , где -значение, резко отличающееся от остальных. Необходимо проверить является ли это отлонение закономерным или случайным, то есть связано ли с различными генеральными средними или это случайное отклонение:

вычисляем среднее

1. принимаем гипотезу

2. принимаем

Равенство долей: сравнение выборочной доли с гипотетической вероятностью. то есть ω и р. Пусть задано n испытаний 9большая выборка) в каждом из которых события происходят с вероятностью р, по данной выборке определяется выборочная доля . Необходимо сравнить выборочную долю и генеральную долю. То есть необходимо проверить значительно или не значительно отклонение выборочной доли от вероятности р.

Н₀=ω=р.

Статистика: z= где - стандартный нормальный закон.Далее вычисляем статистику z, z_критич и сравниваем.

Равенство дисперсий: Н₀=

1. 

если

2. 

если

3. 

если

Проверка гипотез о виде закона распределения :

1. Критерий Пирсона ( : пусть задана генеральная совокупность которая имеет неизвестный закон распределения. Из нее извлекли выборку объема n и составили эмпирическую функцию распределения: .

H₀: =F(x), где F(x)- теоретическая функция распределения.

Для проверки гипотезы о виде распределения для каждого эмпирического значения x_i находят вероятность по теоретическому закону и составляют статистику из квадратов нормированных отклонений эмпирических частот от теоретических.

При статистика будет иметь распределение .

2. Критерий Колмогорова: сотавляем статисттику

далее составляем статистику (при P(

Если , то принимаем гипотезу Н₀

, то принимаем гипотезу Н₁