1) Первый замечательный предел.

Предельное значение ф. в точке существует и равно единице. т.е. .

2) Второй замечательный предел.

Предельное значение ф. при существует и равно e. т.е.

.

Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.

Опр6 ( б.м.ф.)

Ф. называется б.м. в т. ( при ), если .

Зам.: Если ф. имеет равное предельное значение в т. , то ф. является б.м. в т. .

Опр7 (б.б. справа(слева))

Ф. наз. б.б. в т. справа (слева), если для любой сход. к послед. знач. аргумента , элементы которой больше (меньше) , соотв. послед. значений ф. является б.б. послед определённого знака.

Обозначается так: .

Сравнение б.м.ф.

Пусть и – две заданные на одном и том же мн-ве ф., являющиеся б.м. в т. .

1) Ф. наз. б.м. более высокого порядка, чем (имеет более высокий пор. малости), если пред. знач. ф. в т. равно 0.

2) Ф. и наз. б.м. одного порядка (имеют одинаковый порядок малости), если пред. знач. ф. в т. сущ. и .

3) Ф. и наз. эквивалентными б.м., если пред. знач. ф. в т. равно 1.

Свойства эквивалентных б.м.

1) , и .

2) Если и , то , и

3) Если и , то .

4) Если и и , то и или .

4-е свойство самое важное, т.к. на практике это означает, что предел отношения б.м. не меняется при замене их на эквивалентные б.м.

3. Непрерывность функции одной и нескольких переменных.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке. Равномерная непрерывность. Классификация точек разрыва.

Непрерывность функции одной и нескольких переменных.

Пусть т. области задания ф. и – окрестность т. содержит отличные от точки области задания этой ф.

Опр1 (Непр. ф. одной пер.)

Ф. называется непрерывной в т. , если предельное знач. этой ф. в т. и равно частному значению .

Обозначается так: .

Опр2 (Непр. ф. неск. пер.)

Ф. называется непрерывной в т. , если для сход. к послед. знач. аргумента соответствующая послед. значений этой ф. сход. к числу .

Опр3 (Непр. ф. справа (слева)).

Ф. наз. непрерывной справа (слева) в т. , если правое (левое) предельное значение этой ф. в т. и равно частному значению .

Обозначается так:

Справа: или .

Слева: или .

Зам.: Если ф. непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Опр4 (Сложная ф.)

Ф., образованные в результате суперпозиции (т.е. последовательного применения) двух или неск. ф., будем наз. сложными.

Пусть ф. задана на некотором мн-ве , и пусть – множество знач. этой ф.

Предположим, что на указанном мн-ве определена другая ф. . Тогда, на мн-ве задана сложная ф.: где .

Обозначается так: .

Опр5 (Непр. сложной ф.)

Если ф. непр. в т. , а ф. непр. в соотв. т. , то сложная ф. непр. в т. .

Опр6 (огр. сверху (снизу)).

Ф. наз. ограниченной сверху (снизу) на мн-ве , если найдётся такое вещественное число (число ), что для всех значений арг. из мн-ва справедливо нерав.: . При этом число (число ) называется верхней (нижней) гранью ф. на мн-ве .

Свойства функций, непрерывных в точке.

Т1. (Арифм. опер.)

Пусть ф. и непрерывны в т. . Тогда ф.: , , , где также непрерывны в точке .

Т2. (Арифм. опер. при непр. справа( слева))

Аналогично Т1.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство1. (Первая теорема Вейерштрасса)

Если ф. непр. на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Зам.: Для интервала это утверждение несправедливо.

Док-во: Докажем, что ф. ограничена сверху на сегменте (огр. снизу док. аналогично). Предположим противное, т.е. допустим, не является огр. сверху на сегменте . Тогда для , найдётся хотя бы одна т. из сегмента такая, что (иначе была бы огр. сверху на сегменте). Таким образом, послед. знач. из сегмента такая, что соответствующая послед. знач. ф. является б.б. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса (см. вопр.1) из послед. можно выделить подпослед., сходящуюся к т. ξ, принадлежащей, в силу 2 замечания к т. Б-В, сегменту . Обозначим эту подпослед. символом . В силу непрерывности ф. в т. ξ соотв. подпослед. значений ф. обязана сходится к . Но это невозможно, ибо подпослед. , будучи выделена из б.б. послед. , сама является б.б. Получили противоречие. Ч.т.д.

Свойство2 . (Вторая теорема Вейерштрасса).

Если ф. непр. на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней (т.е. наибольшего и наименьшего знач.). Иными словами, на отрезке найдутся такие т. и , что и .

Свойство3 . (Первая теорема Больцано – Коши).

Если ф. непр. на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то такая т. внутри отрезка, где

Свойство4 . (Вторая теорема Больцано – Коши).

Ф., непр. на отрезке , принимает на этом отрезке все знач. между двумя произвольными величинами.

Свойство5 .

Если ф. непрерывна в т. , то некоторая окрестность т. , в которой ф. сохраняет знак.

Равномерная непрерывность.

Опр7 (Равном. непр.)

Ф. наз. равномерно непрерывной на отрезке , если для такое, что для т. и , таких что верно нерав.: .

Зам.: Отличие равномерной от «обычной» непр. в том, что для своё , не зависящее от , а при «обычной» непр. зависит от и .

Свойство6 . (Теорема Кантора).

Ф., непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Зам.: Только для отрезков.

Свойство6 .

Если ф. определена, монотонна и непр. на. некотором промежутке, то и обратная ей ф. тоже однозначно определена, монотонна и непр.

Классификация точек разрыва.

Опр8 (Общее опр. т. разрыва)

Рассмотрим некоторую ф. , непр. в окрестности т. , за исключением быть может самой т. И так является точкой разрыва, если ф. не определена в этой т., или не является в ней непрерывной.

Типы точек разрыва:

1) Устранимый разрыв.

Т. наз. точкой устранимого разрыва ф. , если пред. знач. ф. в этой т. , но в т. функция или не определена, или её частное значение в т. не равно пред. знач.

2) Разрыв 1-го рода.

Т. наз. точкой разрыва 1-го рода, если в этой т. ф. имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения. т.е. .

3) Разрыв 2-го рода.

Т. наз. точкой разрыва 2-го рода, если в этой т. ф. не имеет по крайней мере одного из односторонних пред. знач. или если хотя бы одно из односторонних пред. знач. бесконечно.

4) Кусочно непрерывная ф.

Ф. наз. кусочно непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних т. , за исключением, быть может, конечного числа т., в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние предельные значения в т. и .

Ф. наз. кусочно непрерывной на интервале или бесконечной прямой, если она кусочно непрерывна на любом принадлежащем им отрезке.