35. Непрерывные случайные величины.

Основные распределения НСВ (равномерное, показательное, нормальное, логнормальное), плотность вероятности, параметры распределений, функция распределения вероятности, числовые характеристики (математическое ожидание и СКО).

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна.

1)Равномерный- случайная величина Х распределена по равномерному закону . если функция вероятности определена след образом:

F(x)=

F(x)=

M(x)=

D(x)=

2)Показательное(экспоненциальное) - непрерывная величина Х распределена по показательному закону с параметром λ, если функция плотности вероятности имеет вид:

F(x)=

если ) тогда F(x)=

если ) тогда F(x)=

F(x)=

M(x)=

D(x)=

3)Нормальное распределение - непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения или распределена по закону Гауса, если функция плотности вероятности имеет вид:

f_max(a)=

f_{перегиб}(a)=

если , то

M(x)=a

D(x)=

Если а=0 и , то распределение называется стандартным нормалным.

Правило 3 : вероятность того, что нормально распределенная случайая величина Х отклонится от своего мат ожидания а. не более чем на 3 , является равной 0,9973, то есть рассматриваемое событие является практически достоверным. т.е все значения Х заключены в [-3 ; +3 ]

Параметр а характеризует положение, -форму.

4)Логарифмическое распределение: непрерывная случайная величина Х (>0) распределена по логарифмическому закону, если ее логарифм (Lnx) распределен по нормальному закону.

F(x)=P(X<x)=P(LnX<Lnx)=

M(x)=a·

D(x)=a²·

36. Моменты случайных величин.

Центральные и начальные моменты. Математическое ожидание и дисперсия, их свойства, СКО. Коэффициент ассиметрии и эксцесс, их свойства.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания:

или

Момент	Случайная величина
	Дискретная	Непрерывная
Начальный
Центральный

центральный моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:

(мат ожидание) характеризует среднее значение или положение распределения случайной величины Х на числовой очи.

(дисперсия) - степень рассеивания распределения Х на оси.

- характеристика ассиметрии (скошенности) распределения. Коэффициент ассиметрии: А=

37. Системы случайных величин.

Случайный вектор. Двумерный случайный вектор. Функция распределения двумерного случайного вектора. Независимые и зависимые случайные величины. Числовые характеристики двумерного случайного вектора. Коэффициент корреляции. Регрессия. Двумерный нормальный закон распределения.

Многомерной случайной величиной (случайный вектор) называется последовательность величин:

- реализация многомерной случайной величины.

Дискретный случайный вектор (многомерной случайной величиной) называется случайный вектор, компонентами которого являются дискретные случайные величины.

Способы задания :

1. законом распределения: каждой совокупности значений (x_n) необходимо поставить в соответствие вероятность. Если дискретный случайный вектор имеет размерность 2 , то его называют двумерным и закон распределения можно задать таблицей:

X1| X2	x21	x22	...	x2m	P(X1)
	p11	p12	...	p1m
	p21	p22	...	p2m
...	...	...	...	...	...
	pn1	pn2	...	pnm
P(X2)			...

2. функцией распределения вероятностей: функцией распределения вероятностей случайного вектора Х называется функция

Свойства функции плотности вероятности:

• 

• -не убывающая функция

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Числовые характеристики для двумерной случайной величины:

Корреляция: характеризует связь между компонентами и разброс значений. что не является удобным. поэтому ковариация используется дл определения разброса значений, а нормированная величина ковариации - коэффициент корреляции, является характеристикой связи.

Регрессия: =

=

для непрерывных: M(X₁)=

M(X₂)=

D(X₁)=M((X₁-M(X₁) )=

D(X₂)=M((X₂-M(X₂) )=

- ковариация характеризует разброс двумерной слуайной величины относительно точки с координатами (M(X₁),M(X₂))-центр масс

для дискретных: M(X₁)= )

M(X₂)=

D(X₁)=

D(X₂)=

-ковариация

Пуст задана двумерная случайная величина , она распределена по двумерному нормальном закону, если совместная плотность вероятности имеет вид:

Если зависимы, то эта зависимость может носить различный характер:

1)функциональный - каждому значению случ величины X₁ соответствует значение их X₂.

2)вероятностный\стахостический- каждому значению X₁ соответствует условное распределение случ величины X_2.

Свойства независимых величин:

• условные функции плотности вероятностей совпадают с безусловными ( .

• ковариация =0

• корреляция =0

Если коэффициент корреляции = , то между случ величинами существует функциональная зависимость (линейная), если коэфициент не равен то зависимость вероятностная.