32.Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)   и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка  .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ   на некотором отрезке [a; b]представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y ₁ и y ₂ этого уравнения, то есть,  .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:

Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является  .

Общее решение ЛНДУ   ищется в виде  , где   - общее решение соответствующего ЛОДУ, а   - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении   мы только что говорили, а   можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести  .

Теорию и решение примеров смотрите в разделе линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

33.Метод Фробениуса Теория вероятностей и математическая статистика

34. Дискретные случайные величины.

Основные распределения ДСВ (биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое), их законы распределения, параметры распределений, функции распределения вероятности, полигон, числовые характеристики (математическое ожидание и СКО).

Случайная величина - величина, которая в результате опыта принимает одно из своих возможных значений. В результате опыта случайная величина становится случайным событием.

Дискретная случайная величина - величина, которая принимает дискретное значение. Дискретная случайная величина задается набором своих значений и соответствующими им вероятностями, которые называются законом распределения дискретной случайной величины и задается таблицей:

Х	х1	х2	х3	......	хn
Р	p1	p2	p3	.....	pn

Сумма вероятностей p_i=1.

Виды распределений:

1) Биномиальный закон- пусть производится серия из n опытов, в каждом из которых 0<p<1. Случайная величина Х - количество наступивших событий А в серии из N испытаний.

X	0	1	2	....	k	.....	n
P

Мат ожидание: M(X)=np

Дисперсия: D(X)=npq

2)Закон Пуассона - пусть задана серия из n испытаний. где n , причем в каждом испытании событие А происходит с постоянной вероятностью р близкой к 0 и где - среднее количество наступления А в серии из n испытаний. Выведем формулу Пуассона, воспользуемся формулой Бернули:

перейдем к пределу:

Таким образом:

Мат ожидание: M(X)=λ

Дисперсия: D(X)=λ

3)Геометрическое распределение - пусть событие А происходит с постоянной вероятностью 0<p<1, испытания проводятся до первого появления события А в заданной серии , тогда случайная величина Х- число испытаний, проведенных до наступления А.

X	1	2	3	...	k	...	n
P	p	p·q	p·q2		p·qk-1		p·qn-1

P(X=1)=P(A)=p

P(X=2)=P(A· )=P(A) · =p·q

P(X=k)=p·q^k-1

Мат ожидание: M(X)=

Дисперсия: D(X)= , где q=1-p

4)Гипергеометричсекое распределение- пусть задана совокупность из N шаров, среди которых M-черные и (N-M)-количество белых. Из этой совокупности выбрали n шаров среди которых m количество черных шаров.Случайная величина Х-число черных шаров среди n отобранных.

Х	0	1	2	...	к	....	m
Р	p0	p1			pk		pm

P(X=k)=

Мат ожидание: M(X)=n

Дисперсия: D(X)=n